Thema: Primzahlen aus Differenzen/Summen zwischen benachbarten ungeraden Basen B konstanter Potenzen [(B+2)^N-+B^N]/2 Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Siehe auch unter: http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php?page=1#haut --> Search by form --> (x^z-y^z)/2 http://oeis.org/ --> 397 577 7573 14561 Search (for example) Umwandlungen und Faktorisierungen bis zur 10. Potenz 2. Potenz --> [(B+2)^2-B^2]/2 = 2*B+2 3. Potenz --> [(B+2)^3-B^3]/2 = 3*(B^2+2*B)+4 4. Potenz --> [(B+2)^4-B^4]/2 = [4*B+4]*[B^2+2*B+2] = [4*B+4]*[(B+1)^2+1] 5. Potenz --> [(B+2)^5-B^5]/2 = 5*(B^4+4*B^3+8*B^2+8*B)+16 6. Potenz --> [(B+2)^6-B^6]/2 = [B+1]*[(B+2)^3-B^3]*[B^2+2*B+4] 7. Potenz --> [(B+2)^7-B^7]/2 = 7*(B^6+6*B^5+20*B^4+40*B^3+48*B^2+32*B)+64 8. Potenz --> [(B+2)^8-B^8]/2 = [2*B+2]*[(B+2)^2+B^2]*[(B+2)^4+B^4] 9. Potenz --> [(B+2)^9-B^9]/2 = [3*(B^2+2*B)+4]*[(B+2)^6+(B^2+2*B)^3+B^6] 10.Potenz --> [(B+2)^10-B^10]/2 = [B+1]*[(B+2)^5-B^5]*[B^4+4*B^3+16*B^2+24*B+16] Mittlere Anzahl Primzahlen pro Basis bis N: [ln(N)+ln(2)*ln(ln(N))+1/sqrt(N)-1.5]*e^C/ln(B+2) C = 0.57721566490... e^C = 1.78107241799... Primzahlen mit der Form [(B+2)^N-B^N]/2 Basis B Potenz (Exponent) N 1 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867 3 13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, 128941, 147571, 182099, 866029 5 3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, 100019, 123407, 136559, 208283, 210761, 457871, 608347, 636043 7 3, 5, 7, 4703, 30113, 835391 9 5, 31, 271, 929, 2789, 4153 11 3, 11, 19, 43, 239, 353, 397, 599, 1109, 2099, 38047 13 17, 383, 421, 1049, 7411 15 3, 5, 47, 293, 2887, 3251, 38713 17 163, 4649, 31193 19 3, 17, 59, 239, 743, 6029, 9623, 14717 21 3, 5, 397, 3301, 8171 23 109, 211 25 3, 17, 61, 2777, 18211, 20183 27 13, 47, 239, 257 29 19, 167, 1303, 31907 31 5, 199, 251, 281 33 3, 13, 101 35 3, 1543, 1721 37 1879, 2017, 3067, 4909, 9349 39 3, 17, 347, 1427, 1759, 8039, 9689, 23087 41 13, 19, 109, 461, 11587, 13037, 27103 43 379, 1297, 1381, 3167, 6163, 13829, 30071 45 7, 13, 31, 157, 283, 1181, 1297, 3847 47 1531, 8941 49 7, 503 51 5, 31, 191, 8263, 9511 53 337, 557, 607 55 5, 367, 3343, 11887, 17011 57 3, 311, 1979 59 61, 227, 1019, 2069, 8807 61 19, 37, 131, 347, 2137, 7549, 7919, 11251 63 3, 7, 13, 127, 431, 1489 65 23, 37, 59, 61, 1321, 9421 67 3, 167, 11933 69 11, 1699, 16787, 20611 71 16417 73 163, 331 75 23, 97, 263, 2887 77 3, 53, 67, 73 79 5, 19, 41, 1979, 3323, 9341 81 3, 227, 1489 83 3, 11, 23, 29, 71, 12763, 17387, 28751 85 3, 13, 41, 353, 1823, 2687 87 5, 11, 47, 3607 89 91 17, 281, 337, 347, 6949, 20873, 22031 93 5, 7, 23, 29, 101, 233, 499, 2713 95 31, 89, 149, 199, 1097, 1237, 1259 97 3, 37, 541, 5813 99 101 109, 227, 15373, 18917 103 5, 7, 127, 317, 433 105 7, 11, 53, 419, 1231 107 89, 827 109 13, 43, 59, 71, 1097, 9631 111 3, 43, 53, 79, 107, 349, 5087 Durchsucht bis mindestens N = 32803 113 3, 31, 127, 641, 4261 115 53, 2053, 3571, 7879 117 5, 7, 29, 773 119 7, 31, 43 121 5, 193, 5179, 6029, 13093 123 125 3, 31, 2383, 10909, 16033 127 7, 47, 1741 Durchsucht bis N = 16417 Statistik: [Erwartung] Exponent N = 3 liefert 20 Primzahlen Exponent N = 5 und 7 liefert 21 Primzahlen Exponent N = 11 und 13 liefert 14 Primzahlen Exponent N zwischen 16 und 32 liefert 23 Primzahlen [22.0] Exponent N zwischen 32 und 64 liefert 21 Primzahlen [21.8] Exponent N zwischen 64 und 128 liefert 20 Primzahlen [21.7] Exponent N zwischen 128 und 256 liefert 20 Primzahlen [21.6] Exponent N zwischen 256 und 512 liefert 32 Primzahlen [21.5] Exponent N zwischen 512 und 1024 liefert 10 Primzahlen [21.4] Exponent N zwischen 1024 und 2048 liefert 29 Primzahlen [21.3] Exponent N zwischen 2048 und 4096 liefert 18 Primzahlen [21.3] Exponent N zwischen 4096 und 8192 liefert 19 Primzahlen [21.2] Exponent N zwischen 8192 und 16384 liefert 22 Primzahlen [21.1] Exponent N zwischen 16384 und 32768 liefert 19 Primzahlen [21.0] Mittlere Primzahlen Anzahl pro N-Faktor 2 bei ungerader Basis Am2 = e^C*[ln(2*N)-ln(N)]*[1/ln(1+2)+1/ln(3+2)+1/ln(5+2)+...+1/ln(111+2)] Am2 = 1.781072418*ln(2)*15.977683339 = 19.72517427 (vereinfacht bei sehr grossen N) Primzahlen mit der Form [(B+2)^N+B^N]/2 je 25 Primzahlen (each 25 primes) [(B+2)^2+B^2]/2 ist prim für B = 1, 3, 5, 9, 13, 15, 19, 23, 25, 35, 39, 53, 55, 65, 73, 83, 89, 93, 109, 115, 119, 123, 125, 129, 133, ... [(B+2)^4+B^4]/2 ist prim für B = 1, 3, 7, 9, 11, 15, 17, 21, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 49, 55, 59, 63, 65, 75, 89, 99, 105, 113, 117, ... [(B+2)^8+B^8]/2 ist prim für B = 3, 17, 27, 29, 63, 101, 107, 165, 217, 221, 223, 257, 299, 301, 333, 391, 411, 441, 457, 489, 493, 525, 547, 561, 577, ... [(B+2)^16+B^16]/2 ist prim für B = 1, 5, 13, 25, 43, 63, 73, 79, 85, 103, 111, 123, 125, 129, 183, 203, 213, 251, 273, 323, 371, 385, 415, 427, 483, ... [(B+2)^32+B^32]/2 ist prim für B = 1, 19, 53, 129, 137, 149, 199, 201, 331, 365, 399, 445, 449, 507, 533, 597, 601, 655, 677, 723, 745, 749, 787, 857, 917, ... [(B+2)^64+B^64]/2 ist prim für B = 1, 49, 183, 191, 243, 533, 601, 743, 789, 811, 865, 1029, 1125, 1193, 1309, 1433, 1663, 1865, 1995, 2039, 2073, 2097, 2223, 2227, 2399, ... [(B+2)^128+B^128]/2 ist prim für B = 177, 253, 437, 483, 497, 1087, 2065, 2095, 2231, 2857, 3153, 3583, 3871, 3931, 4121, 4135, 4247, 4611, 4625, 4655, 6181, 6503, 6939, 7345, 7401, ... [(B+2)^256+B^256]/2 ist prim für B = 167, 861, 945, 1023, 1321, 1453, 1821, 2235, 2325, 2663, 2845, 3457, 3525, 3827, 4055, 4569, 4705, 4723, 5027, 5035, 5455, 5655, 5845, 5857, 5981, ... [(B+2)^512+B^512]/2 ist prim für B = 933, 1069, 1725, 2213, 2537, 2583, 2817, 3117, 3949, 4473, 5033, 5115, 5597, 5703, 5707, 5953, 6327, 6331, 6495, 6721, 6781, 6915, 6959, 7113, 7285, ... [(B+2)^1024+B^1024]/2 ist prim für B = 661, 1249, 1403, 2651, 3843, 6397, 7229, 7843, 8091, 11229, 13147, 13881, 16335, 17943, 18027, 18157, 18875, 20811, 20987, 22005, 23103, 25193, 27033, 28797, 28805, ... [(B+2)^2048+B^2048]/2 ist prim für B = 8721, 9901, 12469, 13061, 17975, 18863, 25837, 26249, 29225, 29445, 30339, 31401, 38127, 40813, 48511, 50175, 51077, 53507, 58199, 59833, 67317, 71859, 72639, 73945, 76733, ... [(B+2)^4096+B^4096]/2 ist prim für B = 1479, 2217, 12107, 14473, 17089, 28729, 35635, 44423, 46899, 47347, 50091, 59013, 62599, 82031, 83781, 90941, 91293, 93987, 100583, 107019, 110963, 111039, 114973, 115945, 132731, ... [(B+2)^8192+B^8192]/2 ist prim für B = 2033, 3717, 11219, 41523, 48101, ... [(B+2)^16384+B^16384]/2 ist prim für B = 10197, 11307, ... [(B+2)^32768+B^32768]/2 ist prim für B = 18201, ... [(B+2)^65536+B^65536]/2 ist prim für B = 36393, ... Umwandlungen und Faktorisierungen bis zur 10. Potenz 2. Potenz --> [(B+2)^2+B^2]/2 = B^2+2*B+2 = (B+1)^2+1 3. Potenz --> [(B+2)^3+B^3]/2 = (B+1)*(B^2+2*B+4) = [B+1]*[(B+1)^2+3] 4. Potenz --> [(B+2)^4+B^4]/2 = B^4+4*B^3+12*B^2+16*B+8 = (B+1)^4+6*(B+1)^2+1 5. Potenz --> [(B+2)^5+B^5]/2 = [B+1]*[(B+1)^4+10*(B+1)^2+5] 6. Potenz --> [(B+2)^6+B^6]/2 = [(B+1)^2+1]*[(B+1)^4+14*(B+1)^2+1] 7. Potenz --> [(B+2)^7+B^7]/2 = [B+1]*[(B+1)^6+21*(B+1)^4+35*(B+1)^2+7] 8. Potenz --> [(B+2)^8+B^8]/2 = (B+1)^8+28*(B+1)^6+70*(B+1)^4+28*(B+1)^2+1 9. Potenz --> [(B+2)^9+B^9]/2 = [B+1]*[(B+1)^2+3]*[(B+1)^6+33*(B+1)^4+27*(B+1)^2+3] 10.Potenz-->[(B+2)^10+B^10]/2=[(B+1)^2+1]*[(B+1)^8+44*(B+1)^6+166*(B+1)^4+44*(B+1)^2+1] Primzahlen mit der Form [(B+2)^N+B^N]/(2*B+2) Basis B Potenz (Exponent) N 1 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963 3 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789 5 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739 7 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, 31517, 44819 9 3, 17, 41, 43, 59, 83 11 7, 71, 101, 353 13 3, 71, 73, 197, 647, 8263, 9257 15 17, 59, 83, 223, 2089, 5569 17 11, 17, 29, 59, 199, 373, 877, 1783, 5101, 30347 19 7, 11, 1949, 9403 21 3, 7, 19, 1787, 15551 23 5, 3331, 8839, 32801 25 5, 23, 37, 53, 131, 163, 3229, 18439 27 3, 11, 353, 499, 8369, 8761, 12823, 25849 29 19, 271 31 5, 37, 41, 233, 463, 3461, 4507, 17909, 24413 33 5, 7, 89, 103, 4721, 5879 35 59, 97, 751 37 3, 331, 7219 39 11, 13, 19, 47, 73, 191, 1367, 2647, 3877, 4657, 18539, 19181 41 13, 23 Durchsucht bis mindestens N = 32803 43 7, 97, 1753, 8147 45 17, 19, 31, 241, 937, 5527, 7591, 8641, 9311, 14929 47 7, 673, 5147, 9437 49 3, 13, 17, 101, 191, 827, 4219, 5641 51 3, 11 53 5, 17, 37, 487, 587, 919, 10139, 13219 55 107, 109, 743 57 19, 773, 3361 59 7, 7901 61 3, 61, 97, 251, 607, 1373, 7681 63 3, 11, 397 65 149, 163, 1951, 2267, 3467 67 5, 7 69 3, 211, 313, 457, 1163, 1811, 3313, 4219, 15227 71 61, 113, 127, 1009, 2081 Durchsucht bis N = 16417 03.04.2024 Richard Fischer