Thema: Primzahlen aus Differenzen zwischen benachbarten Basen B konstanter Potenzen (B+1)^N-B^N Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Der Entdecker dieser Form der Primzahlen ist insbesondere Mike Oakes ! Siehe auch unter: http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0105&L=NMBRTHRY&P=R359&I=-3 http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php?page=1#haut --> Search by form --> x^z-y^z http://oeis.org/ --> 5297 7417 90217 122219 Search (for example) Umwandlungen und Faktorisierungen bis zur 10. Potenz 2. Potenz --> (B+1)^2-B^2 = 2*B+1 3. Potenz --> (B+1)^3-B^3 = 3*(B^2+B)+1 4. Potenz --> (B+1)^4-B^4 = [2*B+1]*[2*B^2+2*B+1] = [2*B+1]*[(B+1)^2+B^2] 5. Potenz --> (B+1)^5-B^5 = 5*(B^4+2*B^3+2*B^2+B)+1 6. Potenz --> (B+1)^6-B^6 = [2*B+1]*[(B+1)^3-B^3]*[B^2+B+1] 7. Potenz --> (B+1)^7-B^7 = 7*(B^6+3*B^5+5*B^4+5*B^3+3*B^2+B)+1 8. Potenz --> (B+1)^8-B^8 = [2*B+1]*[(B+1)^2+B^2]*[(B+1)^4+B^4] 9. Potenz --> (B+1)^9-B^9 = [3*(B^2+B)+1]*[(B+1)^6+(B^2+B)^3+B^6] 10. Potenz --> (B+1)^10-B^10 = [2*B+1]*[(B+1)^5-B^5]*[B^4+2*B^3+4*B^2+3*B+1] Mersenne'sche (Basis B=1) Primzahlen Mittlere Anzahl Primzahlen pro Basis bis N: [ln(N)+ln(2)*ln(ln(N))+1/sqrt(N)-0.6]*e^C/ln(B+1) C = 0.57721566490... e^C = 1.78107241799... Primzahlen mit der Form (B+1)^N-B^N Basis B Potenz (Exponent) N 1 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269 (Mersenne Prime) 2 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503 3 2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233 4 3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937 5 2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413 6 2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039 7 7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997 8 2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099 9 2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493 10 3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081 11 2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067 12 17, 31, 41, 47, 109, 163, 643, 2459, 9743, 30271, 87557 13 3, 11, 83, 461, 659, 1129, 3797, 83869 14 2, 3, 43, 173, 193, 7559, 165559 15 2, 43, 211, 1523, 1579, 1693, 12281, 24889 16 5, 7, 79, 523, 571, 2837 17 3, 13, 71, 14533, 26641, 48179 18 2, 1607, 1873, 10957 19 5, 17, 109, 1979, 6899, 7331, 18661, 79621, 81649 20 2, 19, 41, 43, 337, 479, 9127, 37549, 44017, 59971, 128327, 176191, 193601 21 2, 127, 877 22 229, 241, 673, 5387, 47581 23 2, 3, 31, 40519, 51061 24 3, 5, 29, 54799 25 3, 7, 97, 109, 401, 431 26 2, 13, 157, 43117 27 3, 5, 19, 31, 257, 773 28 3, 7219, 34871, 339887 29 2, 149, 283, 853, 1741, 4831, 8867, 146021, 171733, 220411 30 2, 3, 5, 211, 104309 31 5, 1427, 2357, 24499 32 3, 7, 547, 5419, 16301, 36433 33 2, 23, 211, 797, 1181 34 3, 5, 11, 157, 2557, 13537, 73477, 85243 35 2, 5, 7, 23, 45737 36 2, 83, 113, 1429, 3919, 18427, 38461 37 3, 379, 383, 1373, 1609, 24611, 38281 38 3, 7, 13, 41 39 2, 37, 61, 227, 1163, 2473 40 7, 11, 13, 67, 1051, 9257, 9521, 15077, 21851, 53323, 69427 41 2, 3, 5, 47, 67, 103 42 3, 13, 43, 211 43 37, 283, 62903 44 2, 5, 151, 223, 313, 1277, 8447 45 3, 1087, 1879, 4349, 16829, 59791 46 5, 17, 67, 73, 691, 9781, 79201, 89113 47 58543 48 2, 3, 7, 379 49 3, 31, 67, 197, 2473, 2477, 35899 50 2, 7, 139, 383, 1187, 5857, 41281 51 2, 29, 109, 179, 14923 52 3, 19, 29, 37, 1879, 3181, 3331, 19597, 38993, 84239, 90679 53 2, 479, 1129, 2549, 11003 54 2, 5, 7, 701 55 3, 17, 293, 1303, 3331, 4639, 7043, 35201, 46441 56 2, 19, 769, 773, 4507, 26183 57 5, 25633 58 3, 7, 1123, 7489 59 4663, 8839, 14779 60 54517 61 17, 23, 421, 1303, 6163, 17117, 18439, 74521 62 3, 59, 3499, 3571 63 2, 3, 11, 31, 349, 379, 14669, 19001, 49957, 68909 64 5, 31, 9013, 29077, 35543, 56809, 60167 65 2, 7, 47, 61, 73, 317, 4447, 32749, 72047, 99581 66 3, 5, 43, 2399, 88037 67 3, 251 68 2, 17, 1543, 83653 69 2, 11, 1301, 78989, 83117 70 47, 139, 227, 2339, 4919, 21319 71 61, 9883, 64693 72 19, 83, 1091, 20117 73 23, 193, 811 74 2, 3, 53, 101, 223, 1699 75 2, 5, 61, 97, 167, 433 76 19, 101, 5939 77 7, 5749 78 2, 5, 7, 41, 79, 2957, 9949 79 7, 277, 6133 80 3, 43, 113, 157, 269, 709, 1109, 2027, 8297, 86837, 310721 81 2, 3, 13, 787, 797, 857, 1613, 37337 82 331 83 2, 41, 67, 7699, 12409 84 179, 479 85 5, 11, 103, 227, 1637, 9677, 41597 86 2, 3, 47, 44563 87 5, 7, 19, 241, 607, 74047 88 3, 5, 997, 4253, 52511, 59221 89 2, 109, 229, 6959 90 2, 3, 101, 1117, 3109, 44959, 55259 91 3, 827, 9439, 27701, 36683 92 17, 5501 93 3, 79, 1367, 2741, 10937, 17599 94 61, 157, 823, 877 95 2, 3, 7, 263, 347, 1039, 17033, 73877 96 2, 1307, 15289 97 7 98 2, 709 99 2, 5, 19, 59, 1013, 2371, 13967, 44683 100 43, 59, 661, 1597, 3853, 6073, 7723, 12097 101 5, 43, 829, 14423 102 13, 31, 547, 673 103 7, 229, 257, 2207, 9221 104 5, 67, 613, 4931 105 2, 3, 269 106 6529, 7639, 18217 107 59, 61, 347 108 3, 19, 317, 353, 1571 109 5, 17, 233, 2297, 6067 110 5, 181, 647, 6709 111 2, 113 112 5, 7, 103, 1789, 2647 113 2, 2089 114 2, 139, 8699 115 269, 317 116 2, 5531, 8291, 27259 117 7, 827 118 13, 59, 103, 3079, 4813, 24223, 24443, 32687 119 2, 3, 7, 13, 79, 349, 397, 1279, 10937 120 2, 5, 30707 121 5, 41, 313, 3083 122 7, 23, 1307 123 3, 53, 1039, 5471 124 5167, 5839, 24197 125 2, 3, 691 126 41, 263, 2293 127 59, 71, 367, 1381 128 2, 3, 71, 79, 347, 409, 463, 631, 15443 129 3 130 1499, 3691 131 2, 101, 151, 197, 6247, 14929 132 167, 24203 133 37987 134 2, 7, 337 135 2, 7, 53, 103, 1171, 1699, 5953, 29131 136 3, 3169 137 196873 138 2, 113 139 (>260000) 140 2, 3, 13, 173, 4969, 32029 141 2, 7, 1871, 9941 142 3, 281, 9907 143 8839 144 5, 13, 31, 829, 1951, 2081, 4871 145 7, 101, 20507 146 2, 13, 19 147 3, 13, 19, 113, 379, 5399 148 5, 13, 47, 127 149 271 150 13, 61, 6287 151 59, 71, 4583, 26029 152 1583 153 2, 3 154 43, 587, 883 155 2, 7, 467, 859, 3169, 28603 156 2, 3, 7, 17, 661 157 3, 37, 61 158 2, 3, 17, 107, 13313 159 7, 379, 661, 5521 160 13, 31, 151 Gerechnet bis N = 32803 Statistik: [Erwartung] Exponent N = 2 liefert 65 Primzahlen Exponent N = 3 liefert 57 Primzahlen Exponent N = 5 und 7 liefert 70 Primzahlen Exponent N = 11 und 13 liefert 27 Primzahlen Exponent N zwischen 16 und 32 liefert 55 Primzahlen [58.7] Exponent N zwischen 32 und 64 liefert 52 Primzahlen [58.2] Exponent N zwischen 64 und 128 liefert 56 Primzahlen [57.8] Exponent N zwischen 128 und 256 liefert 44 Primzahlen [57.6] Exponent N zwischen 256 und 512 liefert 59 Primzahlen [57.3] Exponent N zwischen 512 und 1024 liefert 51 Primzahlen [57.1] Exponent N zwischen 1024 und 2048 liefert 60 Primzahlen [56.8] Exponent N zwischen 2048 und 4096 liefert 44 Primzahlen [56.6] Exponent N zwischen 4096 und 8192 liefert 54 Primzahlen [56.4] Exponent N zwischen 8192 und 16384 liefert 44 Primzahlen [56.2] Exponent N zwischen 16384 und 32768 liefert 45 Primzahlen [56.0] Exponent N zwischen 32768 und 65536 für B<100 liefert 48 Primzahlen [39.3] Mittlere Primzahlen Anzahl pro N-Faktor 2 Am2 = e^C*[ln(2*N)-ln(N)]*[1/ln(1+1)+1/ln(2+1)+1/ln(3+1)+...+1/ln(160+1)] Am2 = 1.781072418*ln(2)*42.53723688 = 52.51414693 (vereinfacht für sehr grosse N) 18.08.2023 Richard Fischer