Thema: Primzahlen aus Differenzen zwischen benachbarten Basen B konstanter Potenzen (B+1)^N-B^N Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Der Entdecker dieser Form der Primzahlen ist insbesondere Mike Oakes ! Siehe auch unter: http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0105&L=NMBRTHRY&P=R359&I=-3 http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php?page=1#haut --> Search by form --> x^z-y^z Umwandlungen und Faktorisierungen bis zur 10. Potenz 2. Potenz --> (B+1)^2-B^2 = 2*B+1 3. Potenz --> (B+1)^3-B^3 = 3*(B^2+B)+1 4. Potenz --> (B+1)^4-B^4 = [2*B+1]*[2*B^2+2*B+1] = [2*B+1]*[(B+1)^2+B^2] 5. Potenz --> (B+1)^5-B^5 = 5*(B^4+2*B^3+2*B^2+B)+1 6. Potenz --> (B+1)^6-B^6 = [2*B+1]*[(B+1)^3-B^3]*[B^2+B+1] 7. Potenz --> (B+1)^7-B^7 = 7*(B^6+3*B^5+5*B^4+5*B^3+3*B^2+B)+1 8. Potenz --> (B+1)^8-B^8 = [2*B+1]*[(B+1)^2+B^2]*[(B+1)^4+B^4] 9. Potenz --> (B+1)^9-B^9 = [3*(B^2+B)+1]*[(B+1)^6+(B^2+B)^3+B^6] 10. Potenz --> (B+1)^10-B^10 = [2*B+1]*[(B+1)^5-B^5]*[B^4+2*B^3+4*B^2+3*B+1] Mersenne'sche (Basis B=1) Primzahlen Mittlere Anzahl Primzahlen pro Basis bis N: [ln(N)+ln(2)*ln(ln(N))-1]*e^C/ln(B+1) C = 0.57721566490... e^C = 1.78107241799... Primzahlen mit der Form (B+1)^N-B^N Basis B Potenz (Exponent) N 1 2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279 2203 2281 3217 4253 4423 9689 9941 11213 19937 21701 23209 44497 86243 110503 132049 216091 756839 859433 1257787 1398269 (Mersenne Prime) 2 2 3 5 17 29 31 53 59 101 277 647 1061 2381 2833 3613 3853 3929 5297 7417 90217 122219 173191 256199 336353 485977 591827 3 2 3 7 17 59 283 311 383 499 521 541 599 1193 1993 2671 7547 24019 46301 48121 68597 91283 131497 148663 184463 341233 4 3 43 59 191 223 349 563 709 743 1663 5471 17707 19609 35449 36697 45259 91493 246497 5 2 5 11 13 23 61 83 421 1039 1511 31237 60413 113177 135647 6 2 3 7 29 41 67 1327 1399 2027 69371 86689 7 7 11 17 29 31 79 113 131 139 4357 44029 76213 83663 173687 336419 615997 8 2 7 29 31 67 149 401 2531 19913 30773 53857 170099 9 2 3 7 11 19 29 401 709 2531 15787 66949 282493 10 3 5 19 311 317 1129 4253 7699 18199 35153 11 2 3 7 89 101 293 4463 70067 12 17 31 41 47 109 163 643 2459 9743 30271 87557 13 3 11 83 461 659 1129 3797 83869 14 2 3 43 173 193 7559 15 2 43 211 1523 1579 1693 12281 16 5 7 79 523 571 2837 17 3 13 71 14533 18 2 1607 1873 10957 19 5 17 109 1979 6899 7331 20 2 19 41 43 337 479 9127 21 2 127 877 22 229 241 673 5387 23 2 3 31 24 3 5 29 25 3 7 97 109 401 431 26 2 13 157 27 3 5 19 31 257 773 28 3 7219 29 2 149 283 853 1741 4831 8867 30 2 3 5 211 31 5 1427 2357 32 3 7 547 5419 33 2 23 211 797 1181 34 3 5 11 157 2557 35 2 5 7 23 36 2 83 113 1429 3919 37 3 379 383 1373 1609 38 3 7 13 41 39 2 37 61 227 1163 2473 40 7 11 13 67 1051 9257 9521 41 2 3 5 47 67 103 42 3 13 43 211 43 37 283 44 2 5 151 223 313 1277 8447 45 3 1087 1879 4349 46 5 17 67 73 691 9781 47 58543 48 2 3 7 379 49 3 31 67 197 2473 2477 50 2 7 139 383 1187 5857 51 2 29 109 179 52 3 19 29 37 1879 3181 3331 53 2 479 1129 2549 11003 54 2 5 7 701 55 3 17 293 1303 3331 4639 7043 56 2 19 769 773 4507 57 5 58 3 7 1123 7489 59 4663 8839 60 54517 61 17 23 421 1303 6163 62 3 59 3499 3571 63 2 3 11 31 349 379 64 5 31 9013 65 2 7 47 61 73 317 4447 66 3 5 43 2399 67 3 251 68 2 17 1543 69 2 11 1301 70 47 139 227 2339 4919 71 61 9883 72 19 83 1091 73 23 193 811 74 2 3 53 101 223 1699 75 2 5 61 97 167 433 76 19 101 5939 77 7 5749 78 2 5 7 41 79 2957 9949 79 7 277 6133 80 3 43 113 157 269 709 1109 2027 8297 81 2 3 13 787 797 857 1613 82 331 83 2 41 67 7699 12409 84 179 479 85 5 11 103 227 1637 9677 86 2 3 47 87 5 7 19 241 607 88 3 5 997 4253 89 2 109 229 6959 90 2 3 101 1117 3109 91 3 827 9439 92 17 5501 93 3 79 1367 2741 10937 94 61 157 823 877 95 2 3 7 263 347 1039 96 2 1307 97 7 98 2 709 99 2 5 19 59 1013 2371 100 43 59 661 1597 3853 6073 7723 101 5 43 829 102 13 31 547 673 103 7 229 257 2207 9221 104 5 67 613 4931 105 2 3 269 106 6529 7639 (?) 18217 107 59 61 347 108 3 19 317 353 1571 109 5 17 233 2297 6067 110 5 181 647 6709 111 2 113 112 5 7 103 1789 2647 113 2 2089 114 2 139 8699 115 269 317 116 2 5531 8291 117 7 827 118 13 59 103 3079 4813 119 2 3 7 13 79 349 397 1279 120 2 5 121 5 41 313 3083 122 7 23 1307 123 3 53 1039 5471 124 5167 5839 125 2 3 691 126 41 263 2293 127 59 71 367 1381 128 2 3 71 79 347 409 463 631 129 3 130 1499 3691 131 2 101 151 197 6247 132 167 6237 133 37987 134 2 7 337 135 2 7 53 103 1171 1699 5953 136 3 3169 137 196873 138 2 113 139 140 2 3 13 173 4969 141 2 7 1871 9941 142 3 281 9907 143 8839 144 5 13 31 829 1951 2081 4871 145 7 101 146 2 13 19 147 3 13 19 113 379 5399 148 5 13 47 127 149 271 150 13 61 6287 Gerechnet bis mindestens N = 10007 Statistik: [Erwartung] Exponent N = 2 liefert 61 Primzahlen Exponent N = 3 liefert 53 Primzahlen Exponent N = 5 und 7 liefert 67 Primzahlen Exponent N = 11 und 13 liefert 26 Primzahlen Exponent N zwischen 16 und 32 liefert 52 Primzahlen [61.2] Exponent N zwischen 32 und 64 liefert 48 Primzahlen [59.2] Exponent N zwischen 64 und 128 liefert 54 Primzahlen [57.8] Exponent N zwischen 128 und 256 liefert 43 Primzahlen [56.8] Exponent N zwischen 256 und 512 liefert 57 Primzahlen [56.0] Exponent N zwischen 512 und 1024 liefert 46 Primzahlen [55.3] Exponent N zwischen 1024 und 2048 liefert 59 Primzahlen [54.8] Exponent N zwischen 2048 und 4096 liefert 44 Primzahlen [54.4] Exponent N zwischen 4096 und 8192 liefert 52 Primzahlen [54.1] Mittlere Primzahlen Anzahl pro N-Faktor 2 ohne Sonderfälle Am2 = e^C*[ln(2*N)-ln(N)]*[1/ln(1+1)+1/ln(2+1)+1/ln(3+1)+...+1/ln(150+1)] Am2 = 1.781072418*ln(2)*40.55814435 = 50.07086749 (vereinfacht für sehr grosse N) 09.03.2010 Richard Fischer