Thema: Allgemein halbierte Fermatzahlen der Form p = (B^N+1)/2 Main index: http://www.fermatquotient.com/ Nur diese Tabellen habe ich im Internet mit der Form p = (B^N+1)/2 gefunden, wobei eigentlich die Erste nur p = (n^2+1)/2 betrifft. http://oeis.org/search?q=A002731&language=english&go=Search http://oeis.org/search?q=A096169&sort=&language=english&go=Search Allgemeine Fermatprimzahlen (gerade Basen) siehe unter: http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/stat.html http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/results.html http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/status.html http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=12 Die allgemeinen Fermatprimzahlen (generalized Fermat prime) der Form B^N+1 (B gerade) sind mathematisch beweisbar, jedoch die grossen Primzahlen der Form (B^N+1)/2 (B ungerade) dagegen nicht ganz. Die Mehrheit der gefundenen Grossen (>=10000 Stellen) der sogenannt wahrscheinlichen (prp-)Primzahlen kann man finden unter: http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php?page=1#haut Die Eigenschaft der Zahlen (B^N+1)/2 ist, dass wenn man sie in 2 Quadrate zerlegt, als Lösung immer 2 benachbarte Quadrate herauskommen. Z. B. (7^4+1)/2 = 1201 = 24^2+25^2 Die erwarteten und effektiven Werte von den Primzahlen (B^N+1)/2 sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. Man nimmt an, dass die Primzahlenverteilung (B^N+1)/2 eine Näherung einer Poisson-Verteilung ist und der Fehler durch (eff. - erw.) / sqr(erw.) definiert ist. erwartet = Cn*2^(1/N)*Li[B/2^(1/N)]/N n N B Cn erw. eff. Fehler 1 2 100001 1.3728134628182460091 6842.1 6785 -0.7 2 4 100001 2.6789638797482848822 6560.6 6546 -0.2 3 8 100001 2.0927941299213300766 2540.6 2558 +0.3 4 16 100001 3.6714321229370805404 2219.0 2223 +0.1 5 32 100001 3.6129244862406263646 1089.5 1080 -0.3 6 64 100001 3.9427412953667399869 593.8 605 +0.5 7 128 100001 3.1089645815159960954 234.0 240 +0.4 8 256 100001 7.4348059978748568639 279.7 268 -0.7 9 512 100001 7.4890662797425630491 140.9 151 +0.9 10 1024 100001 8.0193434982306030483 75.4 83 +0.9 11 2048 200001 7.2245969049003170901 63.6 66 +0.3 12 4096 300001 8.4253498784241795333 53.6 63 +1.3 13 8192 500001 8.4678857199473387694 43.0 48 +0.8 14 16384 510001 8.0096845351535704233 20.7 20 -0.2 15 32768 294677 5.8026588347082479139 4.54 1 -1.7 16 65536 23895 11.195714229391949615 - - - 17 131072 11561 11.004300588768807590 - - - n N Die ersten 50 Basen B für welche (B^N+1)/2 prim ist. 1 2 3, 5, [9], 11, 15, 19, [25], 29, 35, 39, 45, [49], 51, 59, 61, 65, 69, 71, 79, 85, 95, 101, [121], 131, 139, 141, 145, 159, 165, [169], 171, 175, 181, 195, 199, 201, 205, 209, 219, 221, 231, 245, 261, 271, 275, 279, [289], 299, 309, 315, 321, 325, 329, 335, 345, 349, ... 2 4 3, 5, 7, 11, 13, 17, 21, 23, 29, 35, 39, 57, 61, 65, 71, 73, [81], 103, 105, 113, 115, 119, 129, 153, 165, [169], 171, 199, 203, 205, 251, 259, 267, 275, 309, 313, 317, 333, 337, 339, 353, 363, 403, 405, 415, 419, 431, 445, 449, 453, 455, 463, ... 3 8 [9], 13, 33, 43, 47, 51, 53, 69, [81], 145, 185, 205, 237, 239, 305, 323, 341, 365, 373, 395, 409, 433, 451, 455, 491, 501, 519, 531, 553, 557, 565, 577, 705, 723, 747, 795, 835, [841], 859, 951, 973, 1021, 1037, 1053, 1103, 1113, 1121, 1135, 1143, 1199, 1205, 1209, 1211, ... 4 16 3, [9], 29, 41, 73, [81], 87, 111, 113, 157, 167, 173, 187, 195, 199, 253, 295, 301, 309, 371, 391, 403, 435, [441], 485, 525, 575, 585, 589, 599, 607, 617, 657, 669, 779, 789, 905, 955, 969, 995, 1001, 1023, 1083, 1141, 1147, 1167, 1203, 1213, 1247, 1265, 1349, 1407, 1457, ... 5 32 3, [9], 21, 65, 75, 163, 181, 191, 229, 251, 363, 527, 583, 589, 605, 763, 831, 839, 847, 971, 1099, 1127, 1167, 1181, 1199, 1201, [1225], 1243, 1255, 1273, 1299, 1315, 1379, 1489, 1547, 1673, 1713, 1801, 1823, 1847, 1861, 1957, 1987, 2069, 2087, 2109, 2177, 2195, 2325, 2385, 2457, 2523, [2601], ... 6 64 3, 35, 51, 85, 353, 427, 429, 587, 727, 803, 837, 863, 883, 919, 965, 981, 1217, 1237, 1245, 1329, 1539, 1605, 1643, 1657, 1925, 2001, 2029, 2109, 2175, 2185, 2203, 2333, 2369, 2425, 2433, 2453, 2517, 2537, 2563, 3045, 3209, 3245, 3529, 3617, 3707, 3725, 3753, 3831, 3889, 4043, ... 7 128 113, 499, 871, 1043, 1085, 1255, 1315, 1863, 2081, 2287, 2375, 2497, 3755, 4469, 4565, 5045, 5765, 5807, 5877, 6035, 6151, 7823, 7941, 8145, 8417, 8459, 8473, 8965, 9057, 9079, 9203, 9629, 9961, 10083, 10769, 11007, 11019, 11069, 11497, 11687, 11791, 11823, 12313, 13463, 15363, 15735, 16199, 16515, 16773, 16939, ... 8 256 331, 507, 665, 819, 1783, 2363, 2591, 2791, 2807, 3535, 4009, 4669, 4835, 5365, 6499, 7111, 7127, 7279, 7685, 8443, 8601, 8763, 9007, 9047, 9329, 9735, 9859, 10015, 10133, 10197, 10335, 10403, 10633, 10829, 10875, 10883, 10889, 11049, 11621, 11841, 11957, 12101, 13087, 13183, 13243, 13753, 13897, 14035, 14645, 15345, ... 9 512 513, 1919, 2395, 3035, 3599, 3627, 3631, 4089, 5113, 6351, 6533, 7119, 7429, 7887, 9167, 9415, 10533, 10651, 10911, 11453, 11883, 12391, 12395, 12905, 12931, 13703, 13767, 13999, 14225, 14301, 14855, 15517, 16015, 17905, 18675, 19349, 19369, 21111, 22093, 22095, 22579, 23469, 24461, 24539, 27381, 27771, 28195, 29829, 30567, 32575, ... 10 1024 827, 3005, 3423, 3531, 3609, 4143, 5169, 6083, 6145, 9197, 10861, 11609, 12125, 12295, 13301, 14801, 14987, 16857, 17709, 17773, 18519, 18831, 19419, 19501, 21669, 22751, 23339, 23663, 25441, 26347, 27433, 28779, 29581, 34785, 35333, 36471, 37555, 37883, 39535, 48181, 48293, 50077, 51053, 52519, 53855, 56721, 57613, 58887, 59675, 61769, ... 11 2048 799, 2117, 3109, 9007, 21727, 22047, 22163, 23601, 24681, 24769, 26591, 29609, 33925, 35823, 37107, 46999, 47649, 48439, 54507, 54603, 55009, 59653, 67157, 70809, 79585, 96515, 101865, 102551, 103689, 107701, 108927, 110289, 110483, 110835, 110949, 111121, 112731, 115671, 117207, 120971, 125381, 133487, 134131, 135713, 136349, 136849, 139659, 143245, 147183, 147141, ... 12 4096 3291, 4123, 4253, 5205, 6623, 7265, 12471, 15131, 17711, 24027, 24399, 25159, 39033, 48689, 49587, 50389, 51659, 55153, 56971, 57417, 59129, 68239, 75331, 79533, 87399, 87579, 96727, 100347, 100437, 104803, 107859, 115215, 127957, 132217, 135205, 137463, 139297, 141525, 153307, 174431, 176619, 178625, 189005, 190825, 192215, 209677, 229211, 229965, 230169, 232387, ... 13 8192 [5041], 7487, 10905, 23539, 26193, 38311, 41467, 57307, 80189, 92815, 105587, 108555, 131135, 151199, 157777, 164059, 166715, 179889, 197161, 209059, 223221, 260049, 271433, 283605, 288667, 298805, 299013, 304071, 309619, 310089, 318189, 342421, 347649, 350629, 352937, 353521, 354335, 356647, 400517, 405741, 420617, 422945, 428695, 438465, 443713, 461569, 490957, 491189, 535603, 536981, 542497, ... 14 16384 71, 9513, 19775, 35365, 38661, 58547, 113703, 132109, 134569, 297847, 314401, 317057, 384007, 395347, 416213, 416771, 430463, 467307, 472489, 483641, ... 15 32768 220221, ... 16 65536 23891, ... 17 131072 11559, ... 18 262144 187503, ... 19 524288 35963, ... Faktorisieren der Zahl (71^16384+1)/2-1 (71^16384+1)/2-1 = (71^8192+1)*(71^4096+1)*(71^2048+1)*...*(71^2+1)*72*35 71^2+1 = 2*2521 71^4+1 = 2*12705841 71^8+1 = 2*17*113*577*291295393 71^16+1 = 2*190404353*1095031748345506649537 71^32+1 = 2*193*449*65848868456257*Primfaktor 71^64+1 = 2*1153*44618753*Primfaktor 71^128+1 = 2*257*7937*102764922022913* (>10^15) 71^256+1 = 2*473990323201* (>10^15) 71^512+1 = 2*184321*21610971181057* (>10^15) 71^1024+1 = 2*324155393*4133888163841*5771284008961* (>10^15) 71^2048+1 = 2*520193*16580609* (>10^15) 71^4096+1 = 2*40961*79113707521*205368483841* (>10^15) 71^8192+1 = 2*65537*737281*11370497*13430038904833*26651178909697* (>10^15) Gesamt: (71^16384+1)/2-1 = 2^15*3^2*5*7*17*113*193*257*449*577*1153*2521*7937*40961*65537*184321*520193*737281*... (71^16384+1)/2+1 = 2*127*1091863*4745397099031*... (>10^14) Mit (B^2+1)/2 gibt es auch einige kuriose Doppelprimzahlen: (7^2+1)/2 = 5^2, prim sind 7 und 5 (41^2+1)/2 = 29^2, prim sind 41 und 29 (239^2+1)/2 = 13^4, prim sind 239 und 13 (63018038201^2+1)/2 = 44560482149^2, prim sind 63018038201 und 44560482149 (19175002942688032928599^2+1)/2 = 13558774610046711780701^2, prim sind 19175002942688032928599 und 13558774610046711780701 Mit hoher Wahrscheinlichkeit gibt es keine solche Doppelprimzahlen mehr. 23.09.2021 Richard Fischer