Thema: Maximale Intervalle von Primzahlenpaaren Main index: http://www.fermatquotient.com/ Nach heutigem Stand meiner Analysen, dürften bei Primzahlenpaaren die maximalen Intervallausreisser meistens bei etwa a*ln Q liegen, wobei a dem durchschnittlichen Intervall-Abstand des grösseren Paares entspricht. Für Q gilt bei Paaren die Wurzel aus dem Produkt der Primzahlen des grösseren Paares. Alle Primzahlen --> a = ln Q Für Paare --> a = (ln Q)²/T Paare der Differenz 2, 4, 8, 16, 2^n --> T = 1.32032... Paare der Differenz 6, 12, 18, 24, 36, 48, 54 --> T = 2.64064... Paare der Differenz 10, 20, 40, 50, 80, 100 --> T = 1.76043... Paare der Differenz 14, 28, 56 --> T = 1.58438... Paare der Differenz 22, 44, 88 --> T = 1.46702... Paare der Differenz 26, 52, 104 --> T = 1.44035... Paare der Differenz 30, 60, 90, 120, 150, 180 --> T = 3.52086... Paare der Differenz 42, 84, 126, 168 --> T = 3.16877... Paare der Differenz 70, 140, 280 --> T = 2.11251... Paare der Differenz 210, 420, 630 --> T = 4.22503... Paare der Differenz 770, 1540 --> T = 2.34724... Paare der Differenz 2310, 4620 --> T = 4.69448... Paare der Differenz 10010, 20020 --> T = 2.56062... Paare der Differenz 30030, 60060 --> T = 5.12125... Paare der Differenz 170170, 340340 --> T = 2.73133... Paare der Differenz 510510, 1021020 --> T = 5.46267... Die letzte Zahl in Klammern entspricht dem Durchschnittswert der Rekorde zwischen 10^9 und 10^12. Mir heute bekannte relative Rekordintervalle: Alle Primzahlen: 0.9206*a*ln Q bei Q=1693182318747503, Intervall 1132 Alle Pz. bis 10^12: 0.7953*a*ln Q bei Q=25056082543, Intervall 456 (0.71) Die folgenden Paare sind bis 1.1*10^12 gerechnet: Zwillinge Differenz 2: 0.7529*a*ln Q bei Q=851802, Intervall 1452 (0.68) Paare der Differenz 4: 0.8005*a*ln Q bei Q=750505215291, Intervall 12396 (0.71) Paare der Differenz 6: 0.9818*a*ln Q bei Q=30741435170, Intervall 5236 (0.78) Paare der Differenz 8: 0.9185*a*ln Q bei Q=361215, Intervall 1458 (0.72) Paare der Differenz 10: 0.8896*a*ln Q bei Q=585772074, Intervall 4158 (0.71) Paare der Differenz 12: 0.9895*a*ln Q bei Q=11158277743, Intervall 4640 (0.79) Paare der Differenz 14: 0.7642*a*ln Q bei Q=27404067066, Intervall 6696 (0.70) Paare der Differenz 16: 0.8144*a*ln Q bei Q=42071043609, Intervall 9030 (0.71) Paare der Differenz 18: 0.9019*a*ln Q bei Q=31256974798, Intervall 4820 (0.76) Paare der Differenz 20: 0.8260*a*ln Q bei Q=80366051901, Intervall 7428 (0.70) Paare der Differenz 22: 0.8684*a*ln Q bei Q=281807476410, Intervall 10848 (0.68) Paare der Differenz 24: 0.9381*a*ln Q bei Q=288729212759, Intervall 6528 (0.76) Paare der Differenz 26: 0.8151*a*ln Q bei Q=177411804930, Intervall 9834 (0.72) Paare der Differenz 28: 0.7715*a*ln Q bei Q=612057, Intervall 1152 (0.67) Paare der Differenz 30: 0.9945*a*ln Q bei Q=513539838844, Intervall 5538 (0.79) Paare der Differenz 32: 0.8208*a*ln Q bei Q=21346923, Intervall 2988 (0.68) Paare der Differenz 36: 0.8810*a*ln Q bei Q=719664396611, Intervall 6790 (0.78) Paare der Differenz 42: 0.8713*a*ln Q bei Q=153892149298, Intervall 4700 (0.79) Paare der Differenz 48: 0.9893*a*ln Q bei Q=279697632235, Intervall 6860 (0.76) Paare der Differenz 54: 0.9552*a*ln Q bei Q=176479600906, Intervall 6282 (0.77) Paare der Differenz 60: 0.9296*a*ln Q bei Q=3213469, Intervall 888 (0.79) Paare der Differenz 64: 0.7487*a*ln Q bei Q=978675761145, Intervall 11934 (0.69) Paare der Differenz 70: 0.8343*a*ln Q bei Q=5044563576, Intervall 4404 (0.73) Paare der Differenz 84: 0.9047*a*ln Q bei Q=621711109, Intervall 2370 (0.76) Paare der Differenz 90: 1.0320*a*ln Q bei Q=295832, Intervall 586 (0.81) Paare der Differenz 100: 0.7939*a*ln Q bei Q=667649068863, Intervall 9102 (0.71) Paare der Differenz 120: 0.9461*a*ln Q bei Q=116569400149, Intervall 4446 (0.76) Paare der Differenz 126: 0.9740*a*ln Q bei Q=112850, Intervall 484 (0.76) Paare der Differenz 128: 0.9352*a*ln Q bei Q=850604427615, Intervall 14682 (0.70) Paare der Differenz 140: 0.8785*a*ln Q bei Q=15718025859, Intervall 5382 (0.76) Paare der Differenz 150: 0.8932*a*ln Q bei Q=64826153596, Intervall 3914 (0.77) Paare der Differenz 168: 0.9195*a*ln Q bei Q=4035210097, Intervall 3140 (0.78) Paare der Differenz 180: 1.0738*a*ln Q bei Q=26292481519, Intervall 4212 (0.81) Paare der Differenz 210: 0.9456*a*ln Q bei Q=10867140436, Intervall 2762 (0.82) Paare der Differenz 256: 0.8731*a*ln Q bei Q=116762874645, Intervall 10944 (0.69) Paare der Differenz 360: 0.8837*a*ln Q bei Q=166570895081, Intervall 4330 (0.80) Paare der Differenz 420: 0.8656*a*ln Q bei Q=43750.5, Intervall 250 (0.76) Paare der Differenz 512: 0.7984*a*ln Q bei Q=89878930077, Intervall 9702 (0.71) Paare der Differenz 770: 0.8660*a*ln Q bei Q=2623.9, Intervall 180 (0.70) Paare der Differenz 960: 0.8915*a*ln Q bei Q=189670243351, Intervall 4434 (0.78) Paare der Differenz 1000: 0.7686*a*ln Q bei Q=642447771, Intervall 3642 (0.68) Paare der Differenz 1024: 0.8245*a*ln Q bei Q=828518890041, Intervall 12906 (0.69) Paare der Differenz 1540: 0.8197*a*ln Q bei Q=23600119701, Intervall 4758 (0.70) Paare der Differenz 2048: 0.8653*a*ln Q bei Q=282326211615, Intervall 12012 (0.71) Paare der Differenz 2310: 0.8145*a*ln Q bei Q=320378960084, Intervall 3226 (0.74) Paare der Differenz 4096: 0.8823*a*ln Q bei Q=443194449039, Intervall 12888 (0.74) Paare der Differenz 8192: 0.8850*a*ln Q bei Q=96654687323, Intervall 10848 (0.70) Paare der Differenz 10000: 0.8781*a*ln Q bei Q=5517996.7, Intervall 1866 (0.69) Paare der Differenz 10010: 0.7612*a*ln Q bei Q=26248685.5, Intervall 1482 (0.69) Paare der Differenz 16384: 0.8606*a*ln Q bei Q=1098495189, Intervall 5880 (0.69) Paare der Differenz 20020: 0.8857*a*ln Q bei Q=355519911, Intervall 2640 (0.74) Paare der Differenz 30030: 0.8351*a*ln Q bei Q=2974394.1, Intervall 540 (0.74) Paare der Differenz 32768: 0.8282*a*ln Q bei Q=380559971727, Intervall 11892 (0.73) Paare der Differenz 65536: 0.7995*a*ln Q bei Q=441593029.8, Intervall 4776 (0.68) Paare der Differenz 131072: 0.7830*a*ln Q bei Q=424392229605, Intervall 11382 (0.71) Paare der Differenz 170170: 0.7810*a*ln Q bei Q=171659495388, Intervall 4950 (0.73) Paare der Differenz 262144: 0.7468*a*ln Q bei Q=108774169191, Intervall 9282 (0.69) Paare der Differenz 340340: 0.8536*a*ln Q bei Q=744231828619, Intervall 6384 (0.71) Paare der Differenz 510510: 0.9203*a*ln Q bei Q=393327467458, Intervall 3206 (0.73) Paare der Differenz 524288: 0.8488*a*ln Q bei Q=8994946229, Intervall 7740 (0.73) Paare der Differenz 2^20: 0.8669*a*ln Q bei Q=631225925925, Intervall 13170 (0.70) Innerhalb der Primzahlenpaare liegen meistens weitere Primzahlen. Bei den grössten gefundenen relativen Extremstintervallen handelt es sich je um die 4 Primzahlen: 26292477217, 26292477397, 26292481429, 26292481609; 295201, 295291, 295787, 295877 und 513539833291, 513539833321, 513539838829, 513539838859. Dazwischen gibt es jeweils keine 2 Primzahlen, die die Differenz 180, 90 bzw. 30 haben. Im allgemeinen nehmen die jeweiligen relativen Rekordintervalle mit zunehmender Primzahlengrösse langsam zu und die Streuung ab. So wie es aussieht hat man mit Primzahlenpaaren deren Differenz durch 6 teilbar ist, eindeutig eine grössere Aussicht die relative "Schallmauer" von 1 zu durchbrechen. Für sehr grosse Primzahlen ergeben meine Extrapolationsrechnungen mit Primzahlen der Grössenbereiche 3E+11, 2^100 und 2^200 im Mittel bis Q folgende zu wartende Rekordintervalle: Alle Primzahlen: [ln(Q)-ln(ln(Q))]^2 Paare deren Differenz nicht durch 6 teilbar ist: [ln(Q)-2/3*ln(ln(Q))]^3/T Paare deren Differenz durch 6 teilbar ist: [ln(Q)-0.5*ln(ln(Q))]^3/T Bei der letzten Formel streut der Faktor 0.5 stark und mit zunehmender Paardifferenz nähert er sich dem Faktor 2/3. Wenn aber mit grossen Primzahlen der mittlere Intervallabstand die Paardifferenz deutlich übersteigt, so fällt der Faktor langsam Richtung 0.5. Nach meinen theoretischen Überlegungen, allerdings ohne statistische Prüfung, dürften bei den minimalen Primzahlendrillingen die mittleren Grösstintervalle etwa [ln(Q)-0.75*ln(ln(Q))]^4/2.8582... betragen. Um diese Formel statistisch vernünftig zu prüfen, sind meine Primzahldaten- banken noch zu klein und der PC zu langsam. 12.09.2006 Richard Fischer