Thema: Maximal zu erwartende Luecken benachbarter Primzahlen Topic: Maximum expected gaps between neighboring prime numbers Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Listen der Luecken benachbarter Primzahlen siehe: https://www.pzktupel.de/JensKruseAndersen/risinggap.php https://www.pzktupel.de/JensKruseAndersen/0020KGAP.PHP https://faculty.lynchburg.edu/~nicely/gaps/gaplist.html https://faculty.lynchburg.edu/~nicely/index.html#TPG Naeherungsformel: Dmax = [ln(Q)-ln(ln(Q))]^2 bzw. D = [ln(Q)-k*ln(ln(Q))]^2 Q ist die groessere Primzahl unmittelbar nach einer Luecke Luecke D: Differenz benachbarter Primzahlen Die Ueberschreitungen (k < 1) meiner Naeherungsformel fuer die etwa maximal zu erwartenden Luecken bei Primzahlen sind: D, Q-D, Q, k 2, 3, 5, 0.4102 2, 5, 7, 0.7987 4, 7, 11, 0.4549 4, 13, 17, 0.8001 4, 19, 23, 0.9936 6, 23, 29, 0.7559 6, 31, 37, 0.9046 14, 113, 127, 0.6988 34, 1327, 1361, 0.7008 72, 31397, 31469, 0.8006 112, 370261, 370373, 0.8777 114, 492113, 492227, 0.9442 132, 1357201, 1357333, 0.9940 148, 2010733, 2010881, 0.8779 210, 20831323, 20831533, 0.8358 220, 47326693, 47326913, 0.9889 456, 25056082087, 25056082543, 0.8156 464, 42652618343, 42652618807, 0.9181 652, 2614941710599, 2614941711251, 0.9120 766, 19581334192423, 19581334193189, 0.8561 906, 218209405436543, 218209405437449, 0.8340 1132, 1693182318746371, 1693182318747503, 0.3992 1370, 418032645936712127, 418032645936713497, 0.9616 1442, 804212830686677669, 804212830686679111, 0.8752 1476, 1425172824437699411, 1425172824437700887, 0.9060 1676, 20733746510561442863, 20733746510561444539, 0.9326 Die naechste Ueberschreitung ist mit Q > 2.12E+19 zu erwarten. Nach meiner Einschaetzung und Extrapolationen mit Primzahlen der Groessen 2^100, 2^200 und 2^400 duerfte sich die Ueberschreitunghaeufigkeit im logarithmischen Massstab einer Konstanten naehern, d. h. es sind im Mittel moeglicherweise etwa 0.85 = ln(10)/e Ueberschreitungen pro 10er-Potenz zu erwarten. Da sich die Verteilung der Luecken mit immer groesseren Primzahlen einer e-Funktion naehert, laesst sich die Wahrscheinlichkeit einer Luecke groesser als (ln(Q))^2 beziehungsweise k<0 abschaetzen. Diese lautet von P bis unendlich ungefaehr: 0.5/ln(P) Also bleibt noch fuer P > 2.12E+19 --> 1.12 % Damit gibt es bei den Primzahlen wahrscheinlich keine Luecke groesser als (ln(Q))^2. Zum Vergleich die Luecken mit 1 < k < 1.2 D, Q-D, Q, k 1, 2, 3, 1.0485 6, 47, 53, 1.1030 8, 89, 97, 1.1485 10, 139, 149, 1.1437 12, 199, 211, 1.1254 12, 211, 223, 1.1513 14, 293, 307, 1.1375 14, 317, 331, 1.1719 18, 523, 541, 1.1149 52, 19609, 19661, 1.1677 62, 34061, 34123, 1.0931 86, 155921, 156007, 1.0817 96, 360653, 360749, 1.1761 100, 396733, 396833, 1.1309 132, 1561919, 1562051, 1.0432 154, 4652353, 4652507, 1.0776 180, 17051707, 17051887, 1.1503 248, 191912783, 191913031, 1.1276 282, 436273009, 436273291, 1.0370 320, 2300942549, 2300942869, 1.1945 354, 4302407359, 4302407713, 1.0866 382, 10726904659, 10726905041, 1.1311 444, 36172730063, 36172730507, 1.0155 450, 63816175447, 63816175897, 1.1406 514, 304599508537, 304599509051, 1.1514 532, 461690510011, 461690510543, 1.1527 582, 1346294310749, 1346294311331, 1.1424 588, 1408695493609, 1408695494197, 1.1182 602, 1968188556461, 1968188557063, 1.1284 650, 5120731250207, 5120731250857, 1.1164 674, 7177162611713, 7177162612387, 1.0746 716, 13829048559701, 13829048560417, 1.0264 700, 14998144209049, 14998144209749, 1.1374 730, 24179270588173, 24179270588903, 1.1079 744, 42610475373269, 42610475374013, 1.1917 778, 42842283925351, 42842283926129, 1.0143 758, 47581758352253, 47581758353011, 1.1484 804, 90874329411493, 90874329412297, 1.0909 788, 96949415903999, 96949415904787, 1.1906 880, 277900416100927, 277900416101807, 1.0255 990, 2764496039544377, 2764496039545367, 1.1457 1044, 7123663452896833, 7123663452897877, 1.1651 1120, 19182559946240569, 19182559946241689, 1.1110 1184, 43841547845541059, 43841547845542243, 1.0724 1198, 55350776431903243, 55350776431904441, 1.0789 1220, 80873624627234849, 80873624627236069, 1.0932 1328, 352521223451364323, 352521223451365651, 1.0711 1356, 401429925999153707, 401429925999155063, 1.0021 1358, 523255220614645319, 523255220614646677, 1.0645 1380, 1031501833130243273, 1031501833130244653, 1.1622 1454, 3219107182492871783, 3219107182492873237, 1.1951 (1488, 5733241593241196731, 5733241593241198219, 1.2264) 1510, 6787988999657777797, 6787988999657779307, 1.1946 Bis Q < 2.12E+19 Wenn man vergleicht, so hat sich die Tabelle gegenueber der Tabelle mit k < 1 bereits gut verdoppelt. Vor allem am Ende ist der Zuwachs sehr deutlich. 02.01.2025 Richard Fischer