Thema: Maximal zu erwartende Lücken benachbarter Primzahlen Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Listen der Lücken benachbarter Primzahlen siehe: http://www.trnicely.net/index.html#TPG Näherungsformel: Dmax = [ln(Q)-ln(ln(Q))]^2 bzw. D = [ln(Q)-k*ln(ln(Q))]^2 Q ist die grössere Primzahl unmittelbar nach einer Lücke Lücke D: Differenz benachbarter Primzahlen Die Überschreitungen (k < 1) meiner Näherungsformel für die etwa maximal zu erwartenden Lücken bei Primzahlen sind: D Q k 2 5 0.4102 2 7 0.7987 4 11 0.4549 4 17 0.8001 4 23 0.9936 6 29 0.7559 6 37 0.9046 14 127 0.6988 34 1361 0.7008 72 31469 0.8006 112 370373 0.8777 114 492227 0.9442 132 1357333 0.9940 148 2010881 0.8779 210 20831533 0.8358 220 47326913 0.9889 456 25056082543 0.8156 464 42652618807 0.9181 652 2614941711251 0.9120 766 19581334193189 0.8561 906 218209405437449 0.8340 1132 1693182318747503 0.3992 1370 418032645936713497 0.9616 1442 804212830686679111 0.8752 1476 1425172824437699411 0.9060 Die nächste Überschreitung ist mit Q > 1.5E+18 zu erwarten. Nach meiner Einschätzung und Extrapolationen mit Primzahlen der Grössen 2^100, 2^200 und 2^400 dürfte sich die Überschreitunghäufigkeit im logarithmischen Massstab einer Konstanten nähern, d. h. es sind im Mittel möglicherweise etwa 0.85 = ln(10)/e Überschreitungen pro 10er-Potenz zu erwarten. Da sich die Verteilung der Lücken mit immer grösseren Primzahlen einer e-Funktion nähert, lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer Lücke grösser als (ln(Q))^2 beziehungsweise k<0 abschätzen. Diese lautet von P bis unendlich ungefähr: 0.5/ln(P) Also bleibt noch für P > 1.5E+18 --> 1.2 % Damit gibt es bei den Primzahlen wahrscheinlich keine Lücke grösser als (ln(Q))^2. Zum Vergleich die Lücken mit 1 < k < 1.2 D Q k 1 3 1.0485 6 53 1.1030 8 97 1.1485 10 149 1.1437 12 199 1.1254 12 223 1.1513 14 307 1.1375 14 331 1.1719 18 541 1.1149 52 19661 1.1677 62 34123 1.0931 86 156007 1.0817 96 360749 1.1761 100 396833 1.1309 132 1562051 1.0432 154 4652507 1.0776 180 17051887 1.1503 248 191913031 1.1276 282 436273291 1.0370 320 2300942869 1.1945 354 4302407713 1.0866 382 10726905041 1.1311 444 36172730507 1.0155 450 63816175897 1.1406 514 304599509051 1.1514 532 461690510543 1.1527 582 1346294311331 1.1424 588 1408695494197 1.1182 602 1968188557063 1.1284 650 5120731250857 1.1164 674 7177162612387 1.0746 716 13829048560417 1.0264 700 14998144209749 1.1374 730 24179270588903 1.1079 744 42610475374013 1.1917 778 42842283926129 1.0143 758 47581758353011 1.1484 804 90874329412297 1.0909 788 96949415904787 1.1906 880 277900416101807 1.0255 990 2764496039545367 1.1457 1044 7123663452897877 1.1651 1120 19182559946241689 1.1110 1184 43841547845542243 1.0724 1198 55350776431904441 1.0789 1220 80873624627236069 1.0932 1328 352521223451365651 1.0711 1356 401429925999155063 1.0021 1358 523255220614646677 1.0645 1380 1031501833130244653 1.1622 Bis Q < 1.5E+18 Wenn man vergleicht, so hat sich die Tabelle gegenüber der Tabelle mit k < 1 bereits gut verdoppelt. Vor allem am Ende ist der Zuwachs sehr deutlich. 23.09.2009 Richard Fischer