Thema: Doppelpaar Wieferich-Primzahlen mit der Basis B und der Primzahl P (double Wieferich prime pairs) B^(P-1) == 1 (mod P^2) und P^(B-1) == 1 (mod B^2) Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Basis Primzahl^2 B*P 2 1093 2186 3 1006003 3018009 5 1645333507 8226667535 5 188748146801 943740734005 83 4871 404293 911 318917 290533387 2903 18787 54538661 Bisher entdeckte Nahe-Doppel-Wieferich-Paare mit kleinen Resten Abs(R) <= 10*P+1 Basis B ; Primzahl P>100 ; B^[(P-1)/2] == R (mod P^2) 2 569 R = 9*P+1 2 1733 R = -4*P-1 2 2633 R = 2*P+1 2 15329 R = 6*P+1 2 546097 R = 5*P+1 2 2549177 R = 6*P+1 2 110057537 R = -P+1 2 209227901 R = 8*P-1 2 671499313 R = -5*P+1 2 46262476201 R = 5*P+1 2 47004625957 R = P-1 2 58481216789 R = 5*P-1 2 1180032105761 R = -6*P+1 2 12456646902457 R = 2*P+1 2 134257821895921 R = 10*P+1 2 339258218134349 R = 2*P-1 (2 3723113065138349 R = 18*P-1) (2 5131427559624857 R = -18*P+1) 3 109 R = -4*P+1 3 269 R = 5*P-1 3 523 R = 3*P-1 3 1097 R = 7*P-1 3 2357 R = -7*P-1 3 2593 R = -10*P+1 3 2789 R = -2*P-1 3 2861 R = -P-1 3 29789 R = -8*P-1 3 163061 R = 7*P-1 3 187559 R = 7*P+1 3 308899 R = 5*P-1 3 1386773 R = 2*P-1 3 9501101 R = 9*P-1 3 15978511 R = P-1 3 90614762099 R = 8*P+1 3 39526424220761 R = 10*P-1 3 61629351935149 R = P+1 (3 229551010019207 R = 44*P+1) 5 199 R = -2*P+1 5 349 R = -3*P+1 5 457 R = -9*P-1 5 2957 R = -4*P-1 5 2503720796399 R = -8*P+1 7 15551 R = -9*P-1 7 119297 R = -8*P-1 7 775639 R = 3*P-1 7 8726803 R = -10*P-1 7 3018906857 R = 7*P+1 11 239 R = -3*P+1 11 3631 R = 8*P-1 11 3863 R = -8*P+1 11 4826814791 R = -10*P+1 11 14664628387 R = -3*P+1 11 47090999897 R = -2*P-1 11 168377484659 R = 2*P+1 (11 129631798750637 R = -44*P-1) (11 244936278919987 R = 30*P+1) 13 8597 R = -6*P+1 13 74761397 R = 5*P+1 17 251 R = -9*P+1 17 3371399 R = 2*P-1 19 127 R = -9*P+1 19 945391 R = -3*P+1 23 7583 R = -6*P-1 23 16391339 R = 5*P+1 29 2939 R = -5*P-1 31 10454806891 R = -8*P+1 41 3049 R = -8*P-1 (41 174876270954911 R = -47*P-1) 47 22968479591 R = 5*P-1 53 212790645247 R = -P-1 61 580477 R = -5*P+1 83 293 R = 5*P+1 83 127110119 R = 4*P+1 83 192034559 R = -7*P+1 89 4903 R = 9*P+1 89 7529177 R = 5*P+1 107 1125950115061 R = -7*P+1 149 3538990931981 R = 3*P+1 151 388070033147 R = 10*P-1 167 94360929809777 R = 2*P-1 181 826939 R = 6*P-1 191 5867 R = -10*P+1 199 8981205221 R = 9*P-1 241 8681 R = 6*P+1 293 18593 R = -8*P-1 313 669271 R = -10*P-1 401 2131 R = 3*P+1 523 2971 R = -8*P-1 541 244005992723 R = 8*P-1 673 455145767 R = 7*P+1 773 3001 R = 9*P+1 1151 5295343 R = 7*P-1 1279 683 R = 9*P-1 1583 2269 R = -5*P-1 1619 2021251 R = -10*P+1 1709 97821393408467 R = -10*P+1 2221 659 R = -7*P+1 2803 2131 R = 2*P+1 2953 656634313 R = -6*P+1 3911 3187 R = 7*P-1 5827 270506645441 R = P+1 6133 4134311373869 R = 8*P-1 6733 137 R = -7*P-1 11059 256469 R = 2*P+1 13049 14326961641 R = 8*P-1 17351 57338793569 R = P-1 23549 151133681 R = -3*P+1 30773 434377 R = -5*P-1 46861 2928463 R = -P-1 50957 160639 R = 7*P+1 51673 138007 R = -7*P-1 86197 1801 R = 7*P-1 94873 766574317 R = 6*P-1 143537 4973 R = 5*P+1 (192103 24181638413587 R = -68*P-1) 208729 42884747 R = 2*P+1 231323 657983 R = 2*P-1 379133 191 R = 4*P-1 537221 509413549 R = 9*P+1 750077 7159 R = 7*P-1 1610251 691193 R = 2*P+1 2163971 51503 R = -10*P-1 3924731 4357 R = -3*P-1 4242923 157 R = -7*P-1 5168309 30820477 R = -8*P+1 6149761 23429215331 R = 9*P-1 11027333 13978673 R = 3*P+1 12588133 2872033819 R = -9*P+1 29843371 1547245666933 R = -7*P+1 50871187 27708041 R = 4*P-1 58517909 7607 R = 9*P-1 68788403 20021 R = 5*P-1 69310961 42372293239993 R = -9*P+1 94457777 10256419 R = P+1 (203638433 1410328356529 R = -80*P+1) 221448961 223019471 R = -7*P+1 ... 7215975149 509 R = -6*P+1 40325433091 1051 R = -8*P+1 243547988443 277 R = -3*P+1 275318049829 157 R = 9*P+1 Berechnung der Erwartungswerte (expectation values): Näherung bis zu einen Produkt x = B*P Erwartungswert = 0.53*[ln(ln x)]^2 - 0.424 Gegenwärtig durchsucht bis x = 2.9E+15, liefert einen Erwartungswert von 6.34 Näherung bis zu einem Rechteck B*P und P>=B S = Summe[1/P(i)^2] = 0.452247420041065... M = 0.261497212847642... (Mertenskonstante) Erwartungswert = {[ln(ln P) + M]^2 - [ln(ln P) - ln(ln B)]^2 - S} / 2 Gegenwärtig durchsucht bis B = 250000013 und P = 2E+13, liefert einen Erwartungswert von 6.45 Dies ist nicht gerade erfolgsversprechend, ein weiteres Doppel-Wieferich-Paar zu finden. 07.11.2011 Richard Fischer