Statistik: Fermatquotient B^(P-1) == 1 (mod P^2) Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Die Top 155 der bisher entdeckten Fermatquotienten ohne Primbasen (without prime base) <= 1052: Basis Primzahl (Entdeckungsjahr) 1023 162857063428079 (2022) 655 158039872478141 (2022) 447 146326546396711 (2021) 948 140030971047007 (2021) 970 137893087979557 (2021) 438 130424397928207 (2020) 70 119079791436527 (2020) 915 98985693983999 (2019) 897 92896514864623 (2018) 436 88556282027663 (2020) 524 87702160913599 (2020) 754 87185343382273 (2017) 492 85750417002241 (2017) 549 83997567503807 (2017) 856 83943401059799 (2019) 999 83815456559981 (2017) 731 82300301372323 (2017) 155 77322074223833 (2016) 889 73547302792739 (2019) 221 73446186360011 (2016) 700 65442059485993 (2015) 654 61515814197403 (2019) 485 60037905066809 (2019) 805 59098152210389 (2015) 556 54930985557421 (2018) 837 50998592653399 (2014) 177 49203761507753 (2014) 168 47955919706207 (2014) 1034 47726604579847 (2014) 707 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(2011)] 9743 121734577919 (2011) [299292249563 121734577919 (2011)] [1949177551481 121734577919 (2011)] 491 121261604419 (2006) [1015823793011 121261604419 (2009)] [487360026007 119327070011 (2006)] [1792352470627 119327070011 (2006)] [1104815768579 115755260963 (2006)] 6709 113811486757 (2011) 7577 111594280579 (2011) 10111 105988925209 (2011) [27228892879 105988925209 (2011)] [3419895391051 103336004179 (2006)] [1718271230393 103053130679 (2009)] 6311 102249119591 (2011) 4483 97780315427 (2011) [2184944902103 96185643031 (2006)] [1098129621247 94727075783 (2006)] 881 94626144313 (1998, Discoverer Jörg Richstein) 4397 87628917119 (2011) [146060500379 87628917119 (2011)] 9203 84011448791 (2011) 8461 79132195127 (2011) 9677 76759955329 (2008, Discoverer Michael Mossinghoff) [332185011343 76759955329 (2010)] [501254582893 76759955329 (2010)] 97 76704103313 (1998, Discoverer Jörg Richstein) [236917183271 76704103313 (2006)] 37 76407520781 (1998, Discoverer Jörg Richstein) 3727 75759534919 (2011) 6221 74235431771 (2011) [449703460081 74235431771 (2011)] 8377 73948637123 (2011) 7127 72320415737 (2011) 2879 71904042853 (2011) 1429 70914097931 (2011) [140817583999 70914097931 (2011)] Vergleich zu meinen berechneten Erwartungswerten (expectation values) bei P^2 Fehler = (Ist - Erwartungswert) / Wurzel(Erwartungswert) Error = (effective - expectation) / Sqrt(expectation) 133 Basen von 2 bis 150 von bis Erwartungswert Ist Fehler 10^2 10^3 51.9 42 -1.4 10^3 10^4 37.9 36 -0.3 10^4 10^5 29.6 40 +1.9 10^5 10^6 24.2 19 -1.1 10^6 10^7 20.5 18 -0.6 10^7 10^8 17.8 22 +1.0 10^8 10^9 15.7 10 -1.4 10^9 10^10 14.0 19 +1.3 10^10 10^11 12.7 13 +0.1 10^11 10^12 11.6 13 +0.4 10^12 10^13 10.6 10 -0.2 10^13 1.755E+14 12.2 5 -2.1 877 Basen von 151 bis 1052 von bis Erwartungswert Ist Fehler 10^2 10^3 342.2 368 +1.4 10^3 10^4 249.6 256 +0.4 10^4 10^5 194.9 193 -0.1 10^5 10^6 159.7 184 +1.9 10^6 10^7 135.2 151 +1.4 10^7 10^8 117.1 121 +0.4 10^8 10^9 103.3 103 -0.0 10^9 10^10 92.4 74 -1.9 10^10 10^11 83.6 90 +0.7 10^11 10^12 76.3 75 -0.1 10^12 10^13 70.2 66 -0.5 10^13 4.87E+13 45.2 43 -0.3 Anzahl der zu erwartenden Fermatquotienten bis zu einer extrem grossen Zahl x Durchschnitt aller Basen: ln[ln(x)] - 0.190750207193422... Durchschnitt bei sehr grossen Primbasen: ln[ln(x)] + 0.261497212847642... Durchschnitt ohne die trivialen Fermatquotienten: ln[ln(x)] - 0.845245047275553... Unter "trivial" verstehe ich hier diejenigen Fermatquotienten, die man ohne Suchen vorhersagen kann. Dies gilt bei den Basen B = i*P² ± 1 mit Ausnahme der Primzahl P=2 bei i*2²-1. Beispiel: Primzahl 103 Diese Zahl ist als Formatquotient trivial für die Basen 103²±1, 2*103²±1, 3*103²±1, ... Also für B = 10608, 10610, 21217, 21219, 31826, 31828, ... Überraschend grosse Lücke zwischen den Fermatquotienten bei der Suche bis zur Basis 1052. Vor der Lücke: Basis: 413 P: 2832308863 Basis: 799 P: 2891032049 Basis: 723 P: 2938943531 Lücke mit Merit 13.581 = [ln(ln 3947883749) - ln(ln 2938943531)] * 1010 (gute Näherung) Statistisch kommt eine solche Lücke im Durchschnitt nur alle rund 790000 Quotienten vor. Nach der Lücke: Basis: 738 P: 3947883749 Basis: 260 P: 3977977109 Basis: 147 P: 4058948753 Extreme Nähe: Basis: 994 P: 5431 Basis: 994 P: 5449 Basis: 1015 P: 22853 Basis: 1015 P: 23339 Basis: 252 P: 394213789 Basis: 251 P: 395696461 Basis: 501 P: 24112920253 Basis: 499 P: 24117560837 Basis: 220 P: 32376410527 Basis: 220 P: 34816906301 Basis: 508 P: 1274084375749 Basis: 508 P: 1311889799369 Basis: 666 P: 4503454574621 Basis: 666 P: 4977652953109 Basis: 494 P: 34997771583587 Basis: 493 P: 36843957223351 Nur unterschiedliche Basis: Basis: 391 P: 68903 Basis: 767 P: 68903 Basis: 371 P: 101113 Basis: 1010 P: 101113 Nur vertauschte Ziffern in den Primzahlen: Basis: 457 P: 1589513 Basis: 22 P: 1595813 Die Fermatquotienten 1093 und 3511 bei der Basis 2 haben einen speziellen Namen, die Wieferich primes. Trotz intensiver Suche hat man bis heute keine 3. Wieferich-Primzahl gefunden. Aktueller Stand siehe: http://u-g-f.de/PRPNet/findlist_adv.php?proj=WFS Unter der Adresse http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status sind die beiden beinahe Wieferich-Primzahlen 47004625957 und 76843523891 zu finden. Um bei der heutigen Ausgangslage (bis 6E+17) nach meiner Berechnung einen Erwartungswert von 1 zu haben, müsste man bis 2.12E+48 weitersuchen. Trotzdem gehe ich entgegen der heutigen Meinung, davon aus, dass es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Dass es pro Grössenordung tendenziell immer weniger Fast-Wieferich-Primzahlen gibt, fällt ja mit der Ableitung von ln[ln(x)] respektive mit der Primzahldichte zusammen. 22.09.2023 Richard Fischer