Statistik: Fermatquotient  B^(P-1) == 1 (mod P^2)
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Die Top 107 der bisher entdeckten Fermatquotienten ohne Primbasen (without prime base):
Basis Primzahl (Entdeckungsjahr)
658 26213234261509 (2011)
930 24287395851751 (2010)
814 22863373360561 (2010)
215 21451970877283 (2010)
228 20866199378047 (2010)
399 20125846752871 (2010)
168 19145241526811 (2010)
615 18895408512917 (2010)
1027 18639957895541 (2011)
868 16917592332617 (2009)
403 16296551797663 (2009)
620 15145894824163 (2009)
768 14847328283687 (2009)
51 14802884210119 (2009)
[9984769265225 14802884210119 (2009)]
110 14438374183481 (2009)
[2704058032875 14438374183481 (2009)]
[6078809438104 14438374183481 (2009)]
360 13842663034709 (2009)
[6319022671788 13842663034709 (2009)]
[13616429970784 13842663034709 (2009)]
[8147024755195 13368932516573 (2009)]
910 12342837395351 (2009)
402 11174868949217 (2010)
713 11097981800233 (2008)
551 10781849409623 (2008)
989 10577489843279 (2008)
415 9810493996903 (2009)
22 9809862296159 (2008)
[4376017644649 9809862296159 (2009)]
[6065078091938 9809862296159 (2009)]
872 9714810872587 (2009)
594 8784820622857 (2008)
890 8179693110613 (2009)
489 8157059583047 (2011)
273 7558891900249 (2007)
755 7334497678121 (2011)
478 7284323232409 (2011)
884 7196186279251 (2007)
40 7036306088681 (2007)
60 6683052151409 (2007)
[2264013798892 6683052151409 (2009)]
302 6681086808797 (2011)
321 6628000247353 (2009)
455 6617214825917 (2007)
575 6501209375021 (2007)
286 6489382948837 (2007)
758 6369167671939 (2011)
999 5879307404213 (2007)
964 5871394053781 (2011)
78 5744393199187 (2007)
[2161608938045 5744393199187 (2009)]
[3322314150128 5744393199187 (2009)]
[2889916318168 5025104010547 (2010)]
666 4977652953109 (2007)
134 4962859085059 (2009)
[4393169855999 4962859085059 (2009)]
750 4888164324599 (2007)
451 4855900311901 (2007)
298 4809986918441 (2009)
266 4673329018717 (2007)
669 4663313116307 (2010)
666 4503454574621 (2007)
370 4436281892011 (2007)
284 4019853486967 (2008)
[920073049032 3761059801469 (2010)]
737 3684324840109 (2008)
620 3533794899013 (2007)
604 3294062720537 (2010)
636 3258471060043 (2006)
590 3219042433511 (2006)
1030 3105232218721 (2008)
1014 2957593441709 (2006)
844 2943803595533 (2009)
334 2887182434861 (2009)
770 2771298845851 (2006)
322 2768017244933 (2006)
242 2706669242327 (2006)
945 2705324826961 (2006)
789 2307345676481 (2009)
1032 2281292790859 (2006)
830 2261347020859 (2007)
498 2149153512589 (2007)
650 2135417656303 (2006)
815 2030845176271 (2008)
393 1845595127527 (2007)
[386389357290 1822333408543 (2009)]
[974183630554 1822333408543 (2009)]
[1425799713522 1822333408543 (2009)]
958 1813979414189 (2008)
362 1794830107009 (2008)
910 1514654268719 (2006)
415 1465092947347 (2007)
508 1311889799369 (2007)
508 1274084375749 (2006)
758 1272207150661 (2007)
74 1251922253819 (2006)
[41768194945 1251922253819 (2009)]
363 1249344562091 (2006)
816 1241086902527 (2006)
110 1219715607577 (2006)
[347914584477 1219715607577 (2009)]
[650390161812 1219715607577 (2009)]
[685274994103 1219715607577 (2009)]
221 1180548631831 (2006)
973 1108107413579 (2006)
1008 1085992774211 (2006)
[406131698939 1082305363079 (2009)]
55 902060958301 (2005)
392 883201742719 (2005)
951 848378279311 (2007)
234 817766595407 (2006)
999 806812352251 (2006)
715 781059256409 (2006)
42 719867822369 (2005)
918 693582176263 (2006)
436 677213275049 (2006)
248 668677573093 (2006)
84 663840051067 (2005)
[339683704554 663840051067 (2009)]
395 651742019113 (2006)
960 644232442639 (2006)
935 626872115449 (2006)
87 604807523183 (2005)
[322994504180 604807523183 (2009)]
1030 594835481101 (2006)
66 588024812497 (2005)
[407916174766 588024812497 (2009)]
785 559491826637 (2006)
497 505780258937 (2006)
248 502608046943 (2006)
215 502095466241 (2006)

Die Top 50 der bisher entdeckten Fermatquotienten nur mit Primbasen (only prime base):
Primbasis Primzahl (Entdeckungsjahr)
59 18088417183289 (2010)
[275115089341061 14802884210119 (2009)]
[62634044602867 14438374183481 (2009)]
[88716895412501 14438374183481 (2009)]
43 13368932516573 (2009)
[75933088226453 13368932516573 (2009)]
[41811115853113 9809862296159 (2009)]
79 8206949094581 (2009)
[105436981651843 8206949094581 (2009)]
[298828339911527 7036306088681 (2009)]
[222056571273569 6683052151409 (2009)]
619 6162516725413 (2011)
[176412925948901 5744393199187 (2009)]
641 5025104010547 (2010)
[38242878244763 5025104010547 (2010)]
[38854443073613 5025104010547 (2010)]
[56180208190163 5025104010547 (2010)]
[80511447209203 4962859085059 (2009)]
229 3761059801469 (2010)
[33306245226211 3761059801469 (2010)]
1049 3574693731373 (2010)
769 2586456935177 (2009)
[67281861620969 2586456935177 (2009)]
23 2549536629329 (2006)
[19925360452639 2549536629329 (2009)]
[54365062168699 2549536629329 (2009)]
139 1822333408543 (2007)
[18571426512689 1822333408543 (2009)]
[46845685942441 1219715607577 (2009)]
421 1083982004309 (2007)
953 1082305363079 (2007)
[38688816580241 902060958301 (2009)]
[1922088952027 719867822369 (2009)]
[8367752562157 663840051067 (2009)]
17 478225523351 (2005)
[2227246108447 478225523351 (2006)]
[5079946164589 478225523351 (2006)]
661 462147547073 (2006)
113 405697846751 (2005)
[1918967153837 405697846751 (2009)]
691 312679516579 (2006)
[64907851831 312679516579 (2009)]
[77658868919 312679516579 (2009)]
[235522640761 312679516579 (2009)]
157 275318049829 (2006)
277 243547988443 (2006)
[182518719407 243547988443 (2009)]
[3029801641309 225413072431 (2009)]
953 220564434997 (2006)
5 188748146801 (1997, Discoverer Wilfrid Keller)
1021 144682870477 (2006)
9587 136555727311 (2012)
5531 135127009471 (2012)
[1513490828821 135127009471 (2012)]
[2057372106877 135127009471 (2012)]
[2160011769913 135127009471 (2012)]
[2650314290993 135127009471 (2012)]
3889 130873091287 (2012)
[2352609864331 130873091287 (2012)]
7451 129557399941 (2012)
[199800787159 129557399941 (2012)]
1571 128920748543 (2012)
10009 128320252987 (2012)
8111 128031864581 (2012)
2473 123416538821 (2011)
[2905846429511 123416538821 (2012)]
7177 122067595081 (2011)
[2249546331673 122067595081 (2011)]
9743 121734577919 (2011)
[299292249563 121734577919 (2011)]
[1949177551481 121734577919 (2011)]
491 121261604419 (2006)
[1015823793011 121261604419 (2006)]
[487360026007 119327070011 (2006)]
[1792352470627 119327070011 (2006)]
[1104815768579 115755260963 (2006)]
6709 113811486757 (2011)
7577 111594280579 (2011)
10111 105988925209 (2011)
[27228892879 105988925209 (2011)]
[3419895391051 103336004179 (2006)]
[1718271230393 103053130679 (2009)]
6311 102249119591 (2011)
4483 97780315427 (2011)
[2184944902103 96185643031 (2006)]
[1098129621247 94727075783 (2006)]
881 94626144313 (1998, Discoverer Jörg Richstein)
4397 87628917119 (2011)
[146060500379 87628917119 (2011)]
9203 84011448791 (2011)
8461 79132195127 (2011)
9677 76759955329 (2008, Discoverer Michael Mossinghoff)
[332185011343 76759955329 (2010)]
[501254582893 76759955329 (2010)]
97 76704103313 (1998, Discoverer Jörg Richstein)
[236917183271 76704103313 (2006)]
37 76407520781 (1998, Discoverer Jörg Richstein)
3727 75759534919 (2011)
6221 74235431771 (2011)
[449703460081 74235431771 (2011)]
8377 73948637123 (2011)
7127 72320415737 (2011)
2879 71904042853 (2011)
1429 70914097931 (2011)
[140817583999 70914097931 (2011)]

Vergleich zu meinen berechneten Erwartungswerten (expectation values) bei P^2
Fehler = (Ist - Erwartungswert) / Wurzel(Erwartungswert)
Error = (effective - expectation) / Sqrt(expectation)
133 Basen von 2 bis 150
von bis Erwartungswert Ist Fehler
10^2 10^3 51.9 42 -1.4
10^3 10^4 37.9 36 -0.3
10^4 10^5 29.6 40 +1.9
10^5 10^6 24.2 19 -1.1
10^6 10^7 20.5 18 -0.6
10^7 10^8 17.8 22 +1.0
10^8 10^9 15.7 10 -1.4
10^9 10^10 14.0 19 +1.3
10^10 10^11 12.7 13 +0.1
10^11 10^12 11.6 13 +0.4
10^12 10^13 10.6 10 -0.2

877 Basen von 151 bis 1052
von bis Erwartungswert Ist Fehler
10^2 10^3 342.2 368 +1.4
10^3 10^4 249.6 256 +0.4
10^4 10^5 194.9 193 -0.1
10^5 10^6 159.7 184 +1.9
10^6 10^7 135.2 151 +1.4
10^7 10^8 117.1 121 +0.4
10^8 10^9 103.3 103 -0.0
10^9 10^10 92.4 74 -1.9
10^10 10^11 83.6 90 +0.7
10^11 10^12 76.3 74 -0.3
10^12 8.903E+12 66.8 63 -0.5
10^12 10^13 70.2 65+? bis Juni 2012

Anzahl der zu erwartenden Fermatquotienten bis zu einer extrem grossen Zahl x
Durchschnitt aller Basen: ln[ln(x)] - 0.190750207193422...
Durchschnitt bei sehr grossen Primbasen: ln[ln(x)] + 0.261497212847642...
Durchschnitt ohne die trivialen Fermatquotienten: ln[ln(x)] - 0.845245047275553...
Unter "trivial" verstehe ich hier diejenigen Fermatquotienten, die man ohne Suchen 
vorhersagen kann. Dies gilt bei den Basen B = i*P² ± 1 mit Ausnahme der Primzahl 
P=2 bei i*2²-1.
Beispiel: Primzahl 103
Diese Zahl ist als Formatquotient trivial für die Basen 103²±1, 2*103²±1, 3*103²±1, ...
Also für B = 10608, 10610, 21217, 21219, 31826, 31828, ...

Überraschend grosse Lücke zwischen den Fermatquotienten bei der Suche bis zur Basis 
1052. Vor der Lücke:
Basis: 413 P: 2832308863
Basis: 799 P: 2891032049
Basis: 723 P: 2938943531
Lücke mit Merit 13.581 = [ln(ln 3947883749) - ln(ln 2938943531)] * 1010 (gute Näherung)
Statistisch kommt eine solche Lücke im Durchschnitt nur alle rund 790000 Quotienten vor.
Nach der Lücke:
Basis: 738 P: 3947883749
Basis: 260 P: 3977977109
Basis: 147 P: 4058948753

Extreme Nähe:
Basis: 994 P: 5431
Basis: 994 P: 5449
Basis: 1015 P: 22853
Basis: 1015 P: 23339
Basis: 252 P: 394213789
Basis: 251 P: 395696461
Basis: 501 P: 24112920253
Basis: 499 P: 24117560837
Basis: 220 P: 32376410527
Basis: 220 P: 34816906301
Basis: 508 P: 1274084375749
Basis: 508 P: 1311889799369
Basis: 666 P: 4503454574621
Basis: 666 P: 4977652953109

Nur unterschiedliche Basis:
Basis: 391 P: 68903
Basis: 767 P: 68903
Basis: 371 P: 101113
Basis: 1010 P: 101113

Nur vertauschte Ziffern in den Primzahlen:
Basis: 457 P: 1589513
Basis: 22 P: 1595813


Die Fermatquotienten 1093 und 3511 bei der Basis 2 haben einen speziellen Namen, die 
Wieferich primes.
Trotz intensiver Suche hat man bis heute keine 3. Wieferich-Primzahl gefunden.
Aktueller Stand siehe:  http://www-personal.umich.edu/~dorais/docs/wieferich.pdf
Unter der Adresse  http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status sind die 
beiden beinahe Wieferich-Primzahlen 47004625957 und 76843523891 zu finden. Um bei der 
heutigen Ausgangslage (bis 6.7E+15) nach meiner Berechnung einen Erwartungswert von 1 
zu haben, müsste man bis 1.05E+43 weitersuchen. Trotzdem gehe ich entgegen der heutigen 
Meinung, davon aus, dass es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt.
Dass es pro Grössenordung tendenziell immer weniger Fast-Wieferich-Primzahlen gibt, 
fällt ja mit der Ableitung von ln[ln(x)] respektive mit der Primzahldichte zusammen.

23.01.2012  Richard Fischer