Thema: Fermatquotienten B^(P-1) == 1 (mod P^n) ; n>1 Main index: http://www.fermatquotient.com/ Fachartikel zu den Fermatquotienten: http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/W.Keller/FermatQuotient.html http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/WieferichBarker/ http://www.ams.org/mcom/1997-66-219/S0025-5718-97-00843-0/S0025-5718-97-00843-0.pdf http://go.helms-net.de/math/expdioph/fermatquotients.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_prime Nach dem kleinen Fermat gilt, wenn B zu P teilerfremd sind: B^(P-1) == 1 (mod P) dabei ist B eine Zahlenbasis und P eine Primzahl Es gibt Fälle, wo nun die Primzahl P in [B^(P-1)-1]/P^n doppelt oder gar mehrfach teilbar ist. Im Internet habe ich 3 Adressen gefunden, die für kleinere Basen B grössere Primzahlen für n=2 gesucht haben: http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/1093 http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math11/fer_quo.htm http://home.earthlink.net/~oddperfect/FermatQuotients.html Wenn man nur die Primbasen durchgesucht, kann man die Periodizität der Basen zu den (kleinen) Primzahlen nicht erkennen. Die Basisperiodenlänge lautet zu jeder Primzahl P^n, wobei jede Basis B = P^n ±1 die Bedingung der Teilbarkeit durch P^n erfüllt. Zusammenstellung der kleinesten Basen von den Primzahlen 3 bis 151: Fermatquotiente der Fälle n=2 und n=3; mit FLT-Formel: B^(P-1) == 1 (mod P^n) mit * auch Fall n=4 (Exponent 4) Primzahl P; Exponent n; Basis-Serie B: periodische Wiederholungsformel (B + i*P^n) P=3 n=2 B: 8, 10 Wiederholungen: 17, 19, 26, 28, 35, 37, ... P=3 n=3 B: 26, 28 Wiederholungen: 53, 55, 80*, 82*, 107, 109, ... P=5 n=2 B: 7, 18, 24, 26 Wiederholungen: 32, 43, 49, 51, 57, 68, 74, 76, ... P=5 n=3 B: 57, 68, 124, 126 Wiederholungen: 182*, 193, 249, 251, ... P=7 n=2 B: 18, 19, 30, 31, 48, 50 Wiederholungen: 67, 68, 79, 80, 97, 99, ... P=7 n=3 B: 18, 19, 324, 325, 342, 344 Wiederholungen: 361, 362, 667, 668, 685, 687, ... P=11 n=2 B: 3, 9, 27, 40, 81, 94, 112, 118, 120, 122 Wiederholungen: 124, 130, 148, 161, ... P=11 n=3 B: 124, 161, 596, 632, 699, 735, 1170, 1207, 1330, 1332 P=13 n=2 B: 19, 22, 23, 70, 80, 89, 99, 146, 147, 150, 168, 170 P=13 n=3 B: 239*, 418, 657, 1036, 1037, 1160, 1161, 1540, 1779, 1958, 2196, 2198 P=17 n=2 B: 38, 40, 65, 75, 110, 131, 134, ..., 288, 290 P=17 n=3 B: 158, 399, 653, 802, 827, 1022, 1985, ..., 4912, 4914 P=19 n=2 B: 28, 54, 62, 68, 69, 99, 116, 127, ..., 360, 362 P=19 n=3 B: 333, 623, 956, 1145, 1689, 2819*, 2820*, 2834, ..., 6858, 6860 P=23 n=2 B: 28, 42, 63, 118, 130, 170, 177, 195, 255, 263, ..., 528, 530 P=23 n=3 B: 42, 803, 1086, 1764, 2775, 3056, 3766, 3966, 5120, 5485, ..., 12166, 12168 P=29 n=2 B: 14, 41, 60, 63, 137, 190, 196, 221, 236, 267, 270, 374, 416, ..., 840, 842 P=29 n=3 B: 1215, 1872, 2463*, 4850, 5060, 5666, 6303, 6492, 7302, 7632, 9388, 10133, ... P=31 n=2 B: 115, 117, 145, 229, 235, 333, 338, 374, 388, 414, 430, 439, 440, 448, ... P=31 n=3 B: 513, 3414, 4950, 5995, 6287, 6288, 6962, 7115, 7803, 8316, 10945, 12079, ... P=37 n=2 B: 18, 76, 117, 300, 324, 348, 354, 356, 424, 437, 473, 476, 494, 581, 582, ... P=37 n=3 B: 691, 2262, 2265, 5128, 6769, 7201, 7477, 9466, 11897, 14127, 14271, 14272, ... P=41 n=2 B: 51, 148, 207, 313, 378, 471, 487, 505, 509, 540, 644, 719, 744, 761, 768, ... P=41 n=3 B: 1172, 2152, 4836, 9325, 10399, 11389, 12661, 12704, 13397, 16270, 20677*, ... P=43 n=2 B: 19, 75, 78, 210, 261, 276, 288, 292, 303, 361, 367, 403, 423, 424, 537, ... P=43 n=3 B: 3038*, 3623, 4059, 6632, 7474, 7657, 10691, 13584, 16053, 16622, 17532, ... P=47 n=2 B: 53, 67, 71, 116, 172, 202, 230, 280, 295, 339, 438, 479, 600, 623, 629, ... P=47 n=3 B: 295, 4365, 4757, 5482, 6397, 10390, 15347, 16798, 18110, 18301, 22957, ... P=53 n=2 B: 338, 406, 413, 451, 460, 500, 521, 655, 737, 752, 780, 851, 856, 862, 869, ... P=53 n=3 B: 1468, 7576, 9283, 14496, 16448, 18440, 23224, 25694, 27195, 27590, 30030, ... P=59 n=2 B: 53, 137, 298, 299, 300, 506, 559, 612, 672, 805, 806, 809, 893, 946, 970, ... P=59 n=3 B: 2511, 4287, 11550*, 18511, 22862, 39396, 40214, 41473, 43611, 61294, 61628, ... P=61 n=2 B: 264, 432, 498, 572, 574, 601, 618, 665, 673, 682, 763, 838, 880, 936, 1003, ... P=61 n=3 B: 15458, 17940, 20886, 23206, 28743, 32486, 32888, 38447, 44034, 50791, 51412, ... P=67 n=2 B: 143, 248, 279, 310, 448, 504, 560, 567, 630, 699, 700, 722, 875, 897, 1078, ... P=67 n=3 B: 3859, 6485, 9288, 11557, 16655, 25477, 30975, 33758, 34834, 36809, 41743, ... P=71 n=2 B: 11, 26, 121, 223, 261, 286, 438, 482, 577, 606, 633, 676, 681, 757, 859, ... P=71 n=3 B: 6372, 8327, 13378, 15384*, 21499, 29570, 30728, 30852, 34309, 37182, 40766, ... P=73 n=2 B: 306, 368, 527, 619, 621, 672, 699, 711, 734, 770, 776, 786, 923, 1032, 1134, ... P=73 n=3 B: 923, 1417, 4559, 6001, 6924, 22015, 35485, 54957, 56139, 62804, 63642, ... P=79 n=2 B: 31, 146, 147, 319, 377, 439, 470, 491, 604, 750, 795, 810, 961, 1127, 1414, ... P=79 n=3 B: 1523, 8706, 17913, 18232, 19100, 30766, 38860, 52815, 65445, 66746, 71888, ... P=83 n=2 B: 99, 161, 260, 269, 293, 380, 401, 526, 562, 615, 670, 821, 822, 925, 1020, ... P=83 n=3 B: 5436, 6509, 7182, 18649, 20828, 54843, 55933, 62823, 67870, 76394, 78817, ... P=89 n=2 B: 184, 254, 426, 605, 707, 790, 826, 842, 927, 1070, 1145, 1148, 1219, 1485, ... P=89 n=3 B: 1148, 1485, 3352, 19334, 24833, 29176, 37333, 40750, 42937, 43600, 49580, ... P=97 n=2 B: 53, 107, 138, 226, 279, 382, 402, 412, 525, 750, 866, 978, 1147, 1428, 1497, ... P=97 n=3 B: 412, 13478, 23796, 34557, 34675, 37743, 44557, 45023, 61074, 61075, 62193, ... P=101 n=2 B: 181, 248, 268, 298, 341, 392, 417, 421, 455, 472, 515, 534, 539, 567, 617, ... P=101 n=3 B: 4943, 31170, 35496, 47959, 48072*, 71941, 84721, 92107, 102627, 108141, ... P=103 n=2 B: 43, 147, 164, 348, 350, 386, 391, 470, 687, 908, 1008, 1067, 1547, 1595, ... P=103 n=3 B: 4432, 8474, 13312, 23504, 26319, 26462, 36232, 50645, 76933, 99157, ... P=107 n=2 B: 164, 317, 469, 510, 695, 730, 955, 1058, 1100, 1200, 1239, 1384, 1477, ... P=107 n=3 B: 5573, 5932, 13813, 17125, 20468, 25682, 30753, 37844, 93069, 100403, ... P=109 n=2 B: 96, 291, 380, 402, 410, 476, 499, 500, 624, 681, 837, 977, 1256, 1347, ... P=109 n=3 B: 476, 26427, 27568, 42794, 56633, 97518, 103980, 145500, 150397, 155077, ... P=113 n=2 B: 68, 129, 174, 356, 373, 620, 690, 742, 937, 954, 1027, 1057, 1220, 1330, ... P=113 n=3 B: 68, 4624, 31111, 49579, 55232, 89010, 148076, 164940, 167327, 167575, ... P=127 n=2 B: 38, 62, 497, 736, 911, 1155, 1159, 1224, 1444, 1549, 1730, 1813, 1821, ... P=127 n=3 B: 21304, 30095, 53008, 94961, 97998, 114794, 115660, 137024, 143431, 156317, ... P=131 n=2 B: 58, 111, 250, 424, 659, 835, 899, 1033, 1100, 1113, 1465, 1634, 1657, ... P=131 n=3 B: 30422, 33289, 35956, 51907, 103801, 108222, 115622, 130428, 144719, 151342, ... P=137 n=2 B: 19, 161, 361, 1062, 1409, 1464, 1496, 1621, 1704, 1785, 1814, 1863, 1886, ... P=137 n=3 B: 6021, 11008, 12663, 65543, 86986, 101669, 157343, 167035, 203885, 238418, ... P=139 n=2 B: 328, 369, 398, 534, 553, 914, 1105, 1172, 1263, 1563, 1793, 2000, 2004, ... P=139 n=3 B: 8881, 18407, 23657, 60715, 79534, 88017, 104086, 108350, 138343, 142742, ... P=149 n=2 B: 313, 957, 960, 1312, 1425, 1510, 1644, 1744, 1747, 1969, 2005, 2046, 2281, ... P=149 n=3 B: 33731, 58141, 71834, 99093, 118982, 128460, 138567, 153897, 154095, 160978, ... P=151 n=2 B: 78, 206, 559, 582, 598, 751, 785, 850, 1042, 1149, 1582, 2000, 2103, 2257, ... P=151 n=3 B: 25667, 51726, 55950, 59294, 97225, 114756, 123830, 211981, 221332, 321644, ... Insbesondere zu Beginn dieser Tabelle kann man durch analysieren weitere Gesetzmässigkeiten finden. Ich habe zwar Möglichkeiten gefunden, wie man passende Basen zu (grossen) Primzahlen (n>1) findet, aber kann man auch zu kleineren Basen grössere Primzahlen finden, ohne systematisches Absuchen? 23.02.2009 Richard Fischer