Thema: Fermatquotient B^(P-1) == 1 (mod P^3) Main table of content: http://www.fermatquotient.com/ Fachartikel zu den Fermatquotienten == 1 (mod P^m) http://go.helms-net.de/math/expdioph/fermatquot_ge2_table1.htm Fermatquotienten, mit Primzahl P^3 für Basis < 16*P*ln(P) Durchsucht bis zur Primzahl 1000000007 Basis Primzahl^3 (Basis/Primzahl < 50) Base (prime number)^3 (base/prime number < 50) 26 3 (8.667) 28 3 (9.333) [80 3^4] [82 3^4] 57 5 (11.400) 68 5 (13.600) 124 5 (24.800) 126 5 (25.200) [182 5^4] 18 7 (2.571) 19 7 (2.714) 124 11 (11.273) 161 11 (14.636) 239 13^4 (18.385) 418 13 (32.154) 158 17 (9.294) 399 17 (23.471) 653 17 (38.412) 333 19 (17.526) 623 19 (32.789) [2819 19^4] [2820 19^4] 42 23 (1.826) 803 23 (34.913) 1086 23 (47.217) 1215 29 (41.897) [2463 29^4] 513 31 (16.548) 691 37 (18.676) 1172 41 (28.585) 2152 41 [3038 43^4] 295 47 (6.277) 1468 53 (27.698) 2511 59 (42.559) [11550 59^4] 3859 67 [15384 71^4] 923 73 (12.644) 1417 73 (19.411) 4559 73 1523 79 (19.278) 5436 83 1148 89 (12.899) 1485 89 (16.685) 3352 89 (37.663) 412 97 (4.247) 4943 101 (48.941) [48072 101^4] 4432 103 (43.029) 5573 107 5932 107 476 109 (4.367) 68 113 (0.602) 4624 113 (40.920) 6021 137 (43.949) 8881 139 3868 157 (24.637) 3170 163 (19.448) 4416 163 (27.092) 6141 163 (37.675) 6162 163 (37.804) 7296 181 (40.309) 14628 191 4705 311 (15.129) 23004 331 24733 337 3421 367 (9.322) 6619 383 (17.282) 16296 383 (42.548) 15008 401 (37.426) 20829 409 18166 461 (39.406) 36423 463 24075 479 30042 503 41420 601 53123 613 2194 751 (2.921) 48010 751 26416 757 (34.896) 41334 787 3258 971 (3.355) 75601 1019 42975 1091 (39.390) 112233 1103 2840 1283 (2.214) 153510 1429 101545 1439 7272 1483 (4.904) 78652 1571 148825 1609 19953 1637 (12.189) 90296 1847 (48.888) 13275 1889 (7.028) 146215 2381 106968 2671 (40.048) 286187 2777 146917 3119 (47.104) 185036 3449 367991 4447 158196 4519 (35.007) 101914 4793 (21.263) 47525 5009 (9.488) 586870 5503 353963 5779 411296 5953 329670 6197 827423 6287 32473 6301 (5.154) 414161 7253 597688 7393 640298 8081 271768 8521 (31.894) 1114942 9491 1314044 10009 213624 10103 (21.145) 923851 11399 308312 12739 (24.202) 1316889 12979 606256 14177 (42.763) 1496911 14827 614819 15761 (39.009) 2405189 17321 1489287 17657 1531588 18169 2180540 27109 4069356 29327 1061605 29629 (35.830) 5024136 40739 4515550 40961 3911794 41549 6707380 41903 7649687 45127 3134221 46663 8776293 57413 6002307 58217 6392117 60647 5949049 63311 7115766 72673 4902517 74411 13513737 80933 12082168 88547 8867533 91621 13828307 95273 12400279 101839 18037731 104723 14421578 104801 2237983 105341 (21.245) 13496928 106109 12562565 114797 13871162 116387 23091342 130199 19215726 131893 10255307 150193 17807589 164767 1866276 192323 (9.704) 15730351 192463 41329333 229127 50914707 280009 46881236 283111 11173925 296503 (37.686) 53252706 298307 24516401 327347 33115416 332749 22578487 341087 47640624 348851 54165486 443419 82878668 503359 74248675 513533 80228614 536111 104488273 596861 40444596 643507 107390075 781883 122531293 842323 132729940 865511 51436281 865807 86729751 875689 91515543 1144441 72848886 1196269 173359704 1389133 268822545 1621421 35583272 1628881 (21.845) 389634653 1842497 111085917 1895233 408210007 1917329 492843580 2352037 435632437 2441293 561894654 2465159 102609120 2524817 (40.640) 275023804 2652233 170579905 2715619 663894931 3243587 294687514 3296207 637992774 3296983 537913297 3303857 614332542 3374431 29476046 3526379 (8.359) 537310718 3551227 436734058 3756839 61234996 3909359 (15.664) 435336973 3955013 802764739 4090237 300887447 4503641 1059320352 4539541 698252336 4588121 25332198 5204951 (4.867) 852983289 5258987 466054970 5403901 84292622 5517661 (15.277) 124450655 5885137 (21.147) 153436848 6201817 (24.741) 962304076 6698413 170802704 7330667 (23.300) 668121322 7411253 913498988 7505219 17015016 8401919 (2.025) 1733975793 8406191 866565562 8923309 653811648 8972287 437682587 9267829 (47.226) 2471653748 9832091 1894108321 10720663 967508288 10973503 2466487180 13542467 529116969 14223481 (37.200) 563946522 15453227 (36.494) 3648255575 15686677 1951467677 18047179 3481704572 20181671 1270920235 20456197 3846324992 22612879 3014399075 24157829 2056346762 33634207 3655449611 35323633 10627857571 38894873 1087368926 39997687 (27.186) 9232927239 42916999 8997679543 47278591 14462499727 52845349 6801041602 53905361 130979557 60600667 (2.161) 10341292124 61050571 13330244628 63779951 14921596636 69442661 21167783750 74275511 11601314523 85244123 2471071030 104459191 (23.656) 28552510865 110293609 28894883731 112962991 18284084931 128302463 33484933059 130123079 23971971648 133292183 2910840891 136662641 (21.299) 20146477801 142626349 48382691936 169997741 16839433020 170625043 4320813475 172922821 (24.987) 51849185396 180391303 47197332783 193028839 13274652167 200724019 46953232472 225800147 67783195192 230915057 42323052649 241875511 44648660969 279065471 97364146134 333558557 42310735516 335732401 80859278051 349408261 30563356315 396122723 11934393136 410690123 (29.059) 120459928719 472885381 114486613429 473292181 67536274341 496401133 161899611734 532277203 186819304121 590678731 127193591680 605420773 166249882698 659476549 34130507161 922418969 (37.001) 74493759817 929868083 124990169947 991045943 Gefundene Fermatquotienten, mit Primzahl P^3 für Prim-Basis < 10*P*ln(P)*[6+ln(P)] Durchsucht bis zur Primzahl 1000000007 Prim-Basis Primzahl^3 (Prime base) (prime number)^3 53 3 107 3 109 3 163 3^4 193 5 251 5 307 5 443 5^4 499 5 557 5 19 7 239 13^4 653 17 827 17 4111 17 2819 19^4 6287 31 691 37 7477 37 11897 37 10399 41 13397 41 3623 43 10691 43 6397 47 9283 53 21499 71 1523 79 4943 101 5573 107 (119551 107^4) 33289 131 51907 131 65543 137 25667 151 17987 167 32693 167 54311 191 31019 193 33767 251 54973 251 134857 257 33301 293 108233 307 221737 331 24733 337 204487 379 6619 383 310889 449 323371 463 252709 761 363767 761 500413 769 478273 919 403079 1049 668179 1049 864503 1213 238397 1249 536621 1277 192317 1373 376237 1429 416849 1447 1293203 1487 1113401 1667 1360067 2083 351361 2111 1937557 2341 2421743 2389 146917 3119 2360833 3557 (5256467 3557) 4380547 4093 2899459 4217 353963 5779 6943427 6037 2619223 6263 827423 6287 1393003 8731 12273479 10487 6619441 10709 923851 11399 14255459 12473 23226211 15559 18510733 16363 16555999 18397 16557049 26083 28750901 27701 14408561 28631 46648543 31147 56102971 37019 23234707 39709 62482489 40037 36657031 42407 21447971 43177 59866973 50773 40236083 59879 6392117 60647 5949049 63311 42326917 63587 82139579 67537 43147019 74719 43492769 92737 135796499 96847 64032587 111623 36660023 115469 228620237 115561 254733313 123457 120770527 162391 311876249 212423 449324299 301927 629321981 304597 233276579 336103 22578487 341087 628865381 406271 799631797 437849 1127734453 531551 1310521231 554011 713779223 593531 1039147547 597767 1566246547 613733 246184079 620233 275679839 730969 1989689641 821971 244821763 983771 1068023183 1167731 300603451 1205159 3205799483 1214579 3768643693 1405681 452245039 1549169 4019999591 1634719 3208849921 1649381 1420469711 1660289 408210007 1917329 2941428877 2061533 2009425963 2160931 1453254689 2190599 6672540643 2933993 6769637761 3102199 537913297 3303857 1387908673 3535373 4736978503 3637169 6524318627 3699601 2421156769 4337881 15646885129 4839257 3257630393 5079961 11103458243 5183881 15492635657 6196391 17962510441 6369523 3240118657 6573071 4735323917 7106579 6049374239 7736951 4963540469 9463283 10473590119 9663917 31657840397 9994379 37432079213 13286291 19406274031 13353121 42908889013 13586801 41248157957 13674883 29192277781 13779169 32351658139 14114521 66700963981 18974383 25481980477 25326143 30652750309 26758903 13512595307 27925589 23451801181 30362041 13527047069 33303089 10627857571 38894873 133569238667 42653977 71168815579 43195609 180467954393 44663639 205753901363 52034629 87824559881 58560511 253594392761 84165149 382050622897 95990333 404139427957 101438819 274226636417 101480927 356025327037 112405589 206717372611 128349077 583375726061 143664401 660690391651 172958143 459669181729 176587753 570223333721 196843639 344978679757 214706683 834277575727 232896143 502780312217 233706371 42323052649 241875511 1209257922307 258978197 590132218847 272952091 688965139591 320605451 1302155040959 351778907 804818796107 355527503 1794483575939 430440727 768905012423 529426171 2120873196179 533839931 684069420121 540250379 2217222717293 591400169 1773636025141 611712691 1608637011767 617823643 4980133692517 923407417 6514406602373 949324919 6267497172281 970030903 2928157738963 977277043 124990169947 991045943 Vergleich zu meinen berechneten Erwartungswerten für Basis < 16*P*ln(P) Fehler = (Ist - Erwartungswert) / Wurzel(Erwartungswert) Error = (actual - estimate) / sqrt(estimate) von bis Erwartungswert Ist Fehler From until estimate actual error 11 97 31.5 30 -0.3 101 997 35.7 35 -0.1 1009 9973 36.5 32 -0.7 10007 99991 36.7 30 -1.1 100003 999983 36.8 33 -0.6 1000003 9999991 36.8 44 +1.2 10000019 99999989 36.8 25 -1.9 100000007 999999937 36.8 33 -0.6 Von der Primzahl P = 11 bis P = 999999937 habe ich einen Erwartungswert von 287.7 Primzahlen errechnet und tatsächlich sind es 262. Das ergibt einen Fehler von (262 - 287.7) / sqrt(287.7) = -1.5 Vergleich zu meinen berechneten Erwartungswerten für Basis (16 ÷ 64)*P*ln(P) Fehler = (Ist - Erwartungswert) / Wurzel(Erwartungswert) von bis Erwartungswert Ist Fehler 11 97 94.6 90 -0.5 101 997 107.1 109 +0.2 1009 9973 109.5 99 -1.0 10007 99991 110.1 129 +1.8 100003 999983 110.4 111 +0.1 1000003 9999991 110.5 101 -0.9 10000019 99999989 110.5 107 -0.3 100000007 999999937 110.5 112 +0.1 Vergleich zu meinen berechneten Erwartungswerten für Prim-Basis < 10*P*ln(P)*[6+ln(P)] Fehler = (Ist - Erwartungswert) / Wurzel(Erwartungswert) von bis Erwartungswert Ist Fehler 11 97 24.0 17 -1.4 101 997 23.6 25 +0.3 1009 9973 22.9 23 +0.0 10007 99991 22.4 25 +0.5 100003 999983 22.2 21 -0.3 1000003 9999991 22.0 30 +1.7 10000019 99999989 21.8 20 -0.4 100000007 999999937 21.77 29 +1.5 13.05.2022 Richard Fischer