Thema: Minimal-Differenzen die aus kompletten Primzahlen-Fakultäten p# gebildet werden können Main index: http://www.fermatquotient.com/ M, N sind teilerfremde [ggT(M,N)=1] natürliche Zahlen, deren Prim-Faktoren insgesamt lückenlos von 2 bis p(n) reichen. Die kleinsten gefundenen Prim-Differenzen S der Werte M-N bis N=1.52598E+19 =Wurzel(101#), die im Produkt die Primzahlen-Fakultät enthalten: (2# S=1 M=2 N=1) 2# S=3 M=4 N=1 2# S=7 M=8 N=1 (3# S=1 M=3 N=2) (3# S=1 M=4 N=3) 3# S=5 M=6 N=1 (5# S=1 M=6 N=5) (5# S=1 M=10 N=9) 5# S=7 M=10 N=3 (7# S=1 M=15 N=14) (7# S=1 M=21 N=20) 7# S=11 M=21 N=10 (11# S=1 M=385 N=384) (11# S=1 M=441 N=440) 11# S=13 M=55 N=42 (13# S=1 M=1716 N=1715) (13# S=1 M=2080 N=2079) 13# S=17 M=182 N=165 (17# S=1 M=715 N=714) (17# S=1 M=12376 N=12375) 17# S=19 M=1020 N=1001 (19# S=1 M=633556 N=633555) 19# S=23 M=22253 N=22230 19# S=31 M=4420 N=4389 23# S=29 M=2437149 N=2437120 23# S=31 M=240856 N=240825 23# S=37 M=92092 N=92055 29# S=47 M=5056527 N=5056480 29# S=79 M=1526175 N=1526096 29# S=79 M=27025999 N=27025920 31# S=41 M=8402240 N=8402199 31# S=41 M=159398280 N=159398239 31# S=43 M=5260948 N=5260905 37# S=59 M=216745267200 N=216745267141 37# S=191 M=396785151 N=396784960 37# S=353 M=32232200 N=32231847 41# S=787 M=1869878472 N=1869877685 41# S=827 M=252167630 N=252166803 41# S=857 M=4659016505 N=4659015648 43# S=433 M=17118816000 N=17118815567 43# S=2591 M=2102850156 N=2102847565 43# S=4637 M=7024827992 N=7024823355 47# S=2521 M=10906571667510 N=10906571664989 47# S=2837 M=230893544978525 N=230893544975688 47# S=5867 M=7424679673125 N=7424679667258 53# S=8069 M=917484588900 N=917484580831 53# S=8803 M=32793940270 N=32793931467 53# S=22709 M=167521264712334 N=167521264689625 59# S=25913 M=110715136389143 N=110715136363230 (59# S=35183 M=1503077996750 N=1503077961567) 59# S=48259 M=49100791002760 N=49100790954501 Erweiterte Suche bis N=Wurzel[p(n)#*2^53]: 61# S=172969 M=47246507619129 N=47246507446160 (61# S=237113 M=8494963355740400 N=8494963355503287) 61# S=237313 M=2088487665753775 N=2088487665516462 (67# S=26051 M=17146779515447792301 N=17146779515447766250) 67# S=142771 M=629706999768475 N=629706999625704 67# S=711463 M=1363703601475215 N=1363703600763752 71# S=2483161 M=3538861382113101 N=3538861379629940 (71# S=5421971 M=24730394669025600 N=24730394663603629) 71# S=5922359 M=45914833132150639580 N=45914833132144717221 (73# S=1313407 M=3493417186206439587 N=3493417186205126180) 73# S=2130239 M=3156154130625721875 N=3156154130623591636 (73# S=17283697 M=31754638235586831292 N=31754638235569547595) 79# S=694223 M=88302726976478363648 N=88302726976477669425 (79# S=16527311 M=32977124440716855815 N=32977124440700328504) (79# S=54031633 M=6965181679411945528 N=6965181679357913895) (83# S=351553 M=4289422192311976005 N=4289422192311624452) (83# S=39452089 M=2517745687018445065 N=2517745686978992976) 83# S=66232007 M=1327301699727372084375 N=1327301699727305852368 (89# S=114868529 M=59347881326267938179 N=59347881326153069650) (89# S=2417750509 M=1550947007377915658884989 N=1550947007377913241134480) 89# S=3457356263 M=1862857032438885483 N=1862857028981529220 97# S=55041949 M=12324531814821054004215 N=12324531814820998962266 (97# S=3225617357 M=465795527295610138407 N=465795527292384521050) (97# S=5625344677 M=86629231343294174227 N=86629231337668829550) 101# S=2149146617 M=461229076033496093195600 N=461229076033493944048983 (101# S=23658919511 M=603824012851594430485271 N=603824012851570771565760) 101# S=23675543531 M=605103325012692477900656 N=605103325012668802357125 (103# S=285513522389 M=20152621928951412986320235 N=20152621928951127472797846) 103# S=291404324663 M=870711376702274330325668423 N=870711376702274038921343760 103# S=327742856731 M=58736504972800818584256 N=58736504972473075727525 107# S=19538022269 M=692247429670109638266781605 N=692247429670109618728759336 (107# S=383797297141 M=35713987882318905790735 N=35713987881935108493594) (107# S=539985035609 M=3100658605333494444106439 N=3100658605332954459070830) (109# S=3838616644937 M=380333497732612847078552869280 N=380333497732612843239936224343) (109# S=4079893955959 M=652634954756274453333644019424 N=652634954756274449253750063465) 109# S=6219283016447 M=2205455083351864135082792 N=2205455083345644852066345 Suche bis Wurzel[p(n)#*2E+14] (113# S=1157181544009 M=71587307416495831902340838985 N=71587307416495830745159294976) (113# S=4291909549457 M=1566808439932176232634859473457 N=1566808439932176228342949924000) 113# S=15201191038003 M=50459090021964373064548900975 N=50459090021964357863357862972 (...) In Klammern: Differenz S=1 oder faktorisierbar Selbstverständlich kann es weiter oben noch kleinere (Prim-) Differenzen S geben. Es ist aber jeweils nur noch eine geringe Wahrscheinlichkeit vorhanden, am ehesten bei grösseren Primzahlen-Fakultäten. Beispiel einer Faktorisierung mit der 67#: S=26051 = 109*239 M=17146779515447792301 = 3^6*7^3*13*23^3*37*47*61^2*67 N=17146779515447766250 = 2*5^4*11*17*19^2*29*31*41^2*43*53*59 M*N/67# = 3^5*5^3*7^2*19*23^2*41*61 Hinweis: 2^53 = 9.007199254740992E+15 Anzahl der zu untersuchenden Zahlen-Kombinationen jeweils bis M*N=p(n)#*(2^53) auf Faktorisierung in der Nähe der Wurzel: 2# ==> 54 Zahlen (von 2^0 bis 2^53) 3# ==> 930 Zahlen mit einem maximalen Prim-Teiler von 3 5# ==> 7716 Zahlen mit einem maximalen Prim-Teiler von 5 7# ==> 42038 dito 7 11# ==> 159812 dito 11 13# ==> 504347 dito 13 17# ==> 1328399 dito 17 19# ==> 3137783 dito 19 23# ==> 6633771 dito 23 29# ==> 12661484 dito 29 31# ==> 22850983 dito 31 37# ==> 38512385 dito 37 41# ==> 61897444 dito 41 43# ==> 96195455 dito 43 47# ==> 144202580 dito 47 53# ==> 208423302 dito 53 59# ==> 292062150 dito 59 61# ==> 401543292 dito 61 67# ==> 538803325 dito 67 71# ==> 709936314 dito 71 73# ==> 922824728 dito 73 79# ==> 1178587478 dito 79 83# ==> 1485220277 dito 83 89# ==> 1845174276 dito 89 97# ==> 2259296584 dito 97 101# ==> 2739728623 dito 101 103# ==> 3297889399 dito 103 107# ==> 3936725941 dito 107 109# ==> 4669462620 dito 109 Die kleinsten Differenzen S von M-N, wenn M*N die Primzahlen-Faktultät ist: Weitere Informationen siehe unter: http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_018.htm http://www.research.att.com/~njas/sequences/A061060 (2# S=1 M=2 N=1) (3# S=1 M=3 N=2) 3# S=5 M=6 N=1 (5# S=1 M=6 N=5) 5# S=7 M=10 N=3 5# S=13 M=15 N=2 (7# S=1 M=15 N=14) 7# S=11 M=21 N=10 7# S=23 M=30 N=7 11# S=13 M=55 N=42 11# S=31 M=66 N=35 11# S=37 M=70 N=33 13# S=17 M=182 N=165 13# S=41 M=195 N=154 13# S=67 M=210 N=143 (17# S=1 M=715 N=714) 17# S=107 M=770 N=663 17# S=263 M=858 N=595 19# S=41 M=3135 N=3094 19# S=227 M=3230 N=3003 19# S=389 M=3315 N=2926 23# S=157 M=15015 N=14858 23# S=619 M=15249 N=14630 23# S=709 M=15295 N=14586 29# S=1811 M=81345 N=79534 29# S=2137 M=81510 N=79373 29# S=2549 M=81719 N=79170 31# S=1579 M=448630 N=447051 31# S=7499 M=451605 N=444106 (31# S=8611 M=452166 N=443555) 37# S=18859 M=2733549 N=2714690 37# S=49033 M=2748730 N=2699697 37# S=51631 M=2750041 N=2698410 (41# S=95533 M=17490603 N=17395070) 41# S=98411 M=17492046 N=17393635 (41# S=200611 M=17543365 N=17342754) 43# S=17659 M=114388729 N=114371070 43# S=114553 M=114437190 N=114322637 (43# S=310469 M=114535239 N=114224770) 47# S=1995293 M=785147363 N=783152070 47# S=2382217 M=785341095 N=782958878 (47# S=3218857 M=785760162 N=782541305) (53# S=208303 M=5708795638 N=5708587335) 53# S=3517693 M=5710450603 N=5706932910 (53# S=5852339 M=5711618405 N=5705766066) 59# S=2396687 M=43850489690 N=43848093003 (59# S=6471161 M=43852527030 N=43846055869) 59# S=22462717 M=43860524127 N=43838061410 (61# S=58513111 M=342503171205 N=342444658094) (61# S=85186573 M=342516509335 N=342431322762) 61# S=211899707 M=342579879642 N=342367979935 (67# S=299808329 M=2803419704514 N=2803119896185) (67# S=389993843 M=2803464800045 N=2803074806202) 67# S=1537380473 M=2804038591970 N=2802501211497 (71# S=2460653813 M=23622001517543 N=23619540863730) 71# S=2507890183 M=23622025136970 N=23619517246787 71# S=2848405631 M=23622195404346 N=23619346998715 73# S=3952306763 M=201817933409378 N=201813981102615 (73# S=4794561341 M=201818354541230 N=201813559979889) (73# S=5121029819 M=201818517777474 N=201813396747655) 79# S=341777053 M=1793779635410490 N=1793779293633437 79# S=1817295761 M=1793780373170066 N=1793778555874305 79# S=33298242781 M=1793796113720611 N=1793762815477830 (83# S=115405393057 M=16342166369958702 N=16342050964565645) (83# S=264646824703 M=16342240991108370 N=16341976344283667) 83# S=599742417059 M=16342408541120090 N=16341808798703031 (89# S=437621467859 M=154171363634898185 N=154170926013430326) (89# S=530843829709 M=154171410246152310 N=154170879402322601) 89# S=1733348865733 M=154172011500877855 N=154170278152012122 (97# S=1009861675153 M=1518410187442699518 N=1518409177581024365) (97# S=1842958538437 M=1518410603991326815 N=1518408761032788378) 97# S=3316679648071 M=1518411340852507605 N=1518408024172859534 (101# S=6660853109087 M=15259831781575946565 N=15259825120722837478) (101# S=27921084575297 M=15259842411697702182 N=15259814490613126885) 101# S=33504570543263 M=15259845203443495578 N=15259811698872952315 103# S=29075165225531 M=154870358790203939190 N=154870329715038713659 103# S=81647372865437 M=154870385076312457370 N=154870303428939591933 103# S=99932430488347 M=154870394218843948645 N=154870294286413460298 (107# S=418895584426457 M=1601991507050573600715 N=1601991088154989174258) (107# S=636031772042783 M=1601991615618685282173 N=1601990979586913239390) 107# S=853500418442743 M=1601991724353033757458 N=1601990870852615314715 (109# S=2371362636817019 M=16725281357261594271714 N=16725278985898957454695) (109# S=4961282554219993 M=16725282652221694906278 N=16725277690939140686285) 109# S=6016564035665531 M=16725283179862522209945 N=16725277163298486544414 (113# S=6889206780487667 M=177792170427340904920562 N=177792163538134124432895) (113# S=7995336784245841 M=177792170980405918375131 N=177792162985069134129290) 113# S=63537798773018491 M=177792198751639706139906 N=177792135213840933121415 (127# S=5258351738694673 M=2003615968659851168928690 N=2003615963401499430234017) 127# S=8517623042250013 M=2003615970289486823507523 N=2003615961771863781257510 (127# S=141443584625383367 M=2003616036752468858684382 N=2003615895308884233301015) (131# S=19193968546850561 M=22932432917001897051097491 N=22932432897807928504246930) (131# S=25760816280712223 M=22932432920285320919637458 N=22932432894524504638925235) 131# S=1545837757080134471 M=22932433680323804341030370 N=22932432134486047260895899 (137# S=1157424575582244547 M=268417245982598363846820345 N=268417244825173788264575798) (137# S=3397134918709233503 M=268417247102453540160798530 N=268417243705318621451565027) 137# S=17887057233343383779 M=268417254347414841100487385 N=268417236460357607757103606 (139# S=18534732682906712369 M=3164592660873444717893657954 N=3164592642338712034986945585) (139# S=21269274704516648321 M=3164592662240715732997983810 N=3164592640971441028481335489) 139# S=24450990046157997379 M=3164592663831573409564613814 N=3164592639380583363406616435 149# S=44413798987295791 M=38628776202993992477961504201 N=38628776202949578678974208410 (149# S=48347529624173294989 M=149#/N ; p(n=35) = 149 N=2*3*7*17*19*23*47*53*59*67*71*79*97*101*107*113*127*149) (149# S=100439379171294853211 M=149#/N ; M,N = Wurzel[149#+S^2/4]±S/2 N=2*7*11*13*17*29*31*37*43*61*79*83*97*101*103*113*127*137) (151# S=427009256730780749983 M=151#/N ; p(n=36) = 151 N=3*11*17*19*23*31*43*47*53*59*73*79*83*101*103*109*131*139) 151# S=484363666529339018579 M=151#/N N=5*7*13*19*31*37*41*47*53*59*61*67*73*103*109*113*139*151 (151# S=653414737760987773661 M=151#/N N=17*23*29*31*41*43*47*53*59*67*71*73*97*101*103*107*139) (157# S=1288425690589837107401 M=157#/N ; p(n=37) = 157 N=3*11*13*17*19*23*29*37*47*53*59*67*79*83*97*101*131*139*151) (157# S=4238643808665087236693 M=157#/N N=3*5*7*11*13*17*31*43*47*59*97*103*107*109*127*131*139*149*157) 157# S=6749228989293284149541 M=157#/N N=3*5*17*23*31*37*47*53*59*79*101*107*113*127*139*149*151*157 (163# S=83398624432260821663879 M=163#/N ; p(n=38) = 163 N=3*7*11*19*29*37*43*47*53*59*71*73*101*103*107*131*139*149*163) (163# S=92847002659898729530259 M=163#/N N=7*13*31*37*41*43*47*59*71*79*83*89*103*107*109*137*139*157) 163# S=190477653539051022163597 M=163#/N N=3*5*7*13*17*19*23*29*47*53*61*71*83*89*101*103*109*127*149*151 (167# S=99210975327814763627429 M=167#/N ; p(n=39) = 167 N=5*7*17*19*31*47*53*61*67*71*79*83*89*97*131*137*149*157*163) (167# S=114394829490103536139501 M=167#/N N=2*7*23*29*31*43*53*61*71*73*79*97*101*103*113*139*149*151*167) 167# S=276332786669224274554841 M=167#/N N=2*5*13*17*29*37*59*61*83*101*103*109*113*127*139*149*151*163*167 (173# S=24515656874955623051009 M=173#/N ; p(n=40) = 173 N=5*11*13*37*43*53*59*61*71*83*103*107*109*113*127*137*157*163*167) (173# S=1377517049405199860538137 M=173#/N N=5*7*11*13*17*37*43*53*59*71*73*79*89*97*107*131*139*157*163*173) 173# S=3038403857993221190095769 M=173#/N N=2*3*5*11*13*23*29*41*59*61*73*79*83*89*97*101*103*151*163*167*173 (179# S=10939834021009425543615727 M=179#/N ; p(n=41) = 179 N=2*11*17*19*29*31*37*41*43*47*53*67*71*73*79*89*127*131*137*167*179) (179# S=18681008620835948699836859 M=179#/N N=5*23*29*41*53*59*61*67*79*89*103*109*113*127*137*139*157*163*179) 179# S=40691448728673624424721543 M=179#/N N=2*3*5*7*11*17*23*29*43*47*61*73*83*89*103*107*109*127*149*151*167*173 (181# S=44864514852383863637556089 M=181#/N ; p(n=42) = 181 N=5*11*17*23*29*31*37*47*53*59*67*71*83*89*97*103*107*127*157*163*181) (181# S=53681189934067755364649191 M=181#/N N=3*7*11*13*23*43*47*59*61*67*83*89*101*103*107*109*131*137*151*157*181) 181# S=195246449633739375479037329 M=181#/N N=2*5*7*11*17*47*53*67*79*83*89*97*103*109*127*131*137*151*157*173*179 (191# S=550936092460340602301576123 M=191#/N ; p(n=43) = 191 N=3*7*11*13*17*19*23*29*31*37*43*59*61*71*73*101*103*107*113*127*131*149*173) 191# S=852499274027618314927401571 M=191#/N N=2*3*5*7*11*19*23*37*41*43*67*73*89*97*101*103*109*127*131*137*149*157*191 (191# S=962622917224998364224372647 M=191#/N N=3*5*7*13*17*23*31*37*43*79*83*89*101*103*107*113*127*131*167*173*181*191) (193# S=1258037238415031029687067837 M=193#/N ; p(n=44) = 193 N=3*11*13*17*19*23*31*47*59*61*71*97*107*109*131*137*139*149*157*163*181*193) (193# S=3494073825705468176810413217 M=193#/N N=13*17*29*31*37*43*47*53*67*71*83*89*97*103*109*131*137*157*163*167*193) 193# S=24461319600782658364947637691 M=193#/N N=3*5*11*23*29*37*41*59*61*71*73*79*83*97*109*127*131*137*157*167*181*191 (197# S=15517190258498775669742309769 M=197#/N ; p(n=45) = 197 N=5*11*23*43*53*59*71*79*101*103*107*109*127*131*139*149*151*163*173*191*193) (197# S=17316726670454402087419679693 M=197#/N N=2*3*5*11*13*17*19*31*37*53*59*61*73*83*97*107*127*131*139*151*163*167*179*193) 197# S=94491400632881058746813151737 M=197#/N N=2*5*7*11*13*29*37*43*47*73*79*89*97*103*109*137*149*157*163*167*173*179*191 (199# S=175392071879129154383453227103 M=199#/N ; p(n=46) = 199 N=2*3*5*13*19*23*29*37*47*53*59*61*89*101*109*127*131*137*139*151*167*181*193*197) (199# S=350886945876117422734144479289 M=199#/N N=2*3*7*13*17*19*59*67*71*97*101*103*107*127*137*139*151*173*181*191*193*197*199) 199# S=1274371269835273766490739392263 M=199#/N N=2*3*5*7*13*17*19*23*41*43*47*61*67*79*83*89*101*103*107*137*139*163*173*191*193 (211# S=18801817706481555416524888271 M=211#/N ; p(n=47) = 211 N=2*7*19*23*29*47*59*67*71*79*83*101*103*107*113*137*139*149*163*181*191*197*211) (211# S=612375604376467646409972117697 M=211#/N N=3*23*29*37*41*53*59*71*73*79*109*137*139*149*151*157*163*173*193*197*199*211) 211# S=4428502858261800465211605173693 M=211#/N N=2*11*13*19*23*37*41*43*71*89*103*107*127*131*137*149*157*167*173*181*193*199*211 (223# S=2128835833812637422214037338831 M=223#/N ; p(n=48) = 223 N=3*5*7*11*19*31*61*67*73*79*83*97*103*109*113*131*139*149*157*179*181*191*199*223) (223# S=6285914039470046787145597616509 M=223#/N N=11*17*19*29*31*53*59*61*73*83*89*97*101*103*107*127*137*139*157*167*181*211*223) 223# S=20904497381051159410009164378967 M=223#/N N=5*7*17*19*31*59*71*73*79*89*97*101*109*127*131*157*167*179*191*193*197*199*211 227# S=3817975420950451294699330907083 M=227#/N ; p(n=49) = 227 N=2*7*11*13*17*19*43*47*53*59*71*79*89*103*109*113*127*149*151*157*173*181*191*197*211 (227# S=60221936020112808715411035958039 M=227#/N N=3*11*13*19*23*29*31*41*47*59*61*67*89*97*101*107*109*113*137*139*151*173*179*181*199) (227# S=68516228661308921038035302611427 M=227#/N N=17*29*37*41*53*59*89*103*109*131*137*149*157*163*167*173*181*191*193*199*211*223) (229# S=255251061836402025957351382265603 M=229#/N ; p(n=50) = 229 N=2*3*5*13*23*41*53*61*67*89*103*107*113*127*137*139*149*151*163*173*181*191*193*211*229) 229# S=645060174162102629709103065871721 M=229#/N N=5*7*11*13*17*29*37*59*61*67*71*83*89*103*131*139*149*151*157*167*173*193*197*227*229 (229# S=816244071535129703674251600245687 M=229#/N N=2*3*5*17*23*59*61*67*71*73*79*83*103*109*113*127*139*157*173*181*191*197*211*227*229) (233# S=1412640941944366357509486396556567 M=233#/N ; p(n=51) = 233 N=2*3*17*19*23*29*41*43*53*59*71*73*83*89*101*107*113*137*157*163*167*173*193*197*223*233) (233# S=3682547588805419063653983627921257 M=233#/N N=2*3*7*11*17*19*23*29*43*47*53*59*61*67*83*89*101*109*157*173*179*181*193*197*199*211*227) 233# S=29544560459529709539860996038884757 M=233#/N N=7*11*19*31*37*41*47*53*59*61*67*79*83*101*103*107*113*139*173*179*197*199*223*227*229 239# S=9242091965209445865373606793782483 M=239#/N ; p(n=52) = 239 N=3*11*13*17*23*37*43*47*61*67*71*83*89*101*107*131*137*149*151*157*167*173*193*199*211*239 239# S=13251940188285559012465414986780977 M=239#/N N=2*3*7*19*29*31*37*47*67*79*89*101*107*127*131*139*151*163*167*173*179*199*223*227*229*239 (239# S=32882711370603715144232782698092599 M=239#/N N=2*3*11*13*17*37*41*43*59*73*83*89*107*131*151*157*167*173*179*191*193*199*223*227*229*233) 241# S=554859412170362801638074499888523387 M=241#/N ; p(n=53) = 241 N=2*3*7*11*13*19*23*61*79*89*97*101*107*109*127*137*139*149*163*167*173*179*191*199*211*223*229 (241# S=681116376420944025556557250782971791 M=241#/N N=2*7*13*31*43*53*61*71*79*83*89*97*103*109*113*127*137*149*151*163*167*173*193*211*223*239) (241# S=921583518963773766343470945560423461 M=241#/N N=2*5*11*13*17*19*31*37*43*71*79*101*103*109*127*131*139*149*157*163*167*179*181*197*211*233*239) (251# S=381323511525804653316065057864073893 M=251#/N ; p(n=54) = 251 N=11*17*23*31*41*47*67*71*73*79*83*101*107*109*113*127*131*137*149*151*157*181*197*211*223*241) (251# S=1097159248761825387933662230980799549 M=251#/N N=2*7*17*29*37*41*43*53*67*71*73*79*83*89*97*101*131*137*151*157*163*167*173*199*233*239*241) 251# S=11998373791956266974484871313382078747 M=251#/N N=5*11*13*17*43*53*67*71*73*89*103*107*127*131*137*149*157*163*167*173*191*197*223*229*233*239 (257# S=35437332977701517188420177171620992897 M=257#/N ; p(n=55) = 257 N=3*5*11*23*29*31*41*43*47*59*61*67*71*83*89*97*101*137*149*157*173*181*197*199*211*233*239*251) (257# S=38512475847507195067480188152182579793 M=257#/N N=5*7*11*13*17*23*29*37*41*53*61*67*79*97*103*107*127*137*157*163*173*193*211*229*233*239*251*257) 257# S=54918196784348854675721330933382121349 M=257#/N N=3*5*7*11*29*31*41*43*53*59*67*71*73*89*103*107*139*163*167*173*179*191*193*197*199*211*227*257 (263# S=11120574317959615760444012191623780653 M=263#/N ; p(n=56) = 263 N=5*7*13*17*19*23*29*43*47*53*67*71*73*79*83*89*101*107*127*131*137*139*157*163*179*191*199*223*233) (263# S=96883201115581536162101662651119079151 M=263#/N N=2*11*23*29*31*37*41*47*53*61*71*79*89*101*103*107*113*139*149*151*167*191*193*197*199*211*239*263) 263# S=3362956104965985097153059037423188641959 M=263#/N N=2*3*5*7*11*13*19*23*37*43*47*53*71*89*103*109*113*127*131*137*139*151*157*163*191*197*227*229*251*263 (269# S=498984587025842154529896957116622307357 M=269#/N ; p(n=57) = 269 N=2*5*13*17*19*23*29*41*43*59*67*71*89*97*103*109*131*137*157*179*193*197*199*211*239*241*251*257*269) (269# S=668993478948577585072087240396225396643 M=269#/N N=3*5*11*17*19*41*47*59*61*73*89*107*127*131*137*163*173*179*181*193*211*223*227*229*241*251*263*269) 269# S=16099806889465804533667415975143985468257 M=269#/N N=2*5*7*13*17*19*23*37*47*53*59*71*73*79*83*97*101*107*113*131*137*149*157*167*179*197*199*229*241*269 (271# S=3509110547516272260024631778111819009611 M=271#/N ; p(n=58) = 271 N=3*5*13*41*43*61*71*73*83*101*103*107*113*137*149*151*163*173*179*181*191*193*199*211*227*233*251*271) (271# S=5723201361348503581738826437120524295579 M=271#/N N=2*3*11*17*29*37*41*43*47*53*61*67*73*83*89*97*101*103*113*127*131*139*163*181*199*227*239*257*263*269) 271# S=45131414644389955311929901615057749638271 M=271#/N N=3*29*31*37*43*79*83*97*103*107*113*127*139*149*163*167*179*181*197*199*223*233*241*251*257*263*271 (277# S=52700212541449212397193789833559410594327 M=277#/N ; p(n=59) = 277 N=2*3*17*29*31*53*59*67*71*83*89*97*101*109*113*131*157*163*167*193*199*211*223*229*233*241*257*263*277) (277# S=76713296017655669247174125593817643198391 M=277#/N N=2*3*7*11*19*23*29*37*43*47*53*59*71*73*79*83*89*107*127*137*173*179*181*191*193*211*227*233*241*257*269) 277# S=514680375947992438804655688992205675527519 M=277#/N N=2*3*11*17*23*37*41*43*53*61*67*71*73*79*109*137*139*149*151*157*179*193*197*199*211*223*227*251*269*277 (281# S=933292757411139393442548940297162269910769 M=281#/N ; p(n=60) = 281 N=2*3*5*11*13*17*19*31*37*41*53*61*67*79*83*101*103*107*109*113*131*139*149*163*181*197*227*229*233*269*271*281) 281# S=1980349053965627604638908266347281259592919 M=281#/N N=2*5*7*11*31*37*41*47*71*73*83*89*103*107*127*137*139*157*163*181*193*223*227*229*233*241*251*257*271*281 (281# S=1989394658054846614166700976691861070172381 M=281#/N N=3*5*13*17*19*23*31*37*41*47*53*61*67*73*83*103*113*139*151*157*163*167*173*181*191*197*223*227*251*269*281) (283# S=439786274319845121572939177384960378551057 M=283#/N ; p(n=61) = 283 N=2*3*5*7*11*17*19*23*53*59*73*79*83*89*101*107*127*137*149*151*157*163*167*181*199*211*223*241*251*257*271*283) (283# S=1071026764401766126562735238248848399193689 M=283#/N N=7*11*13*17*31*59*67*79*97*101*109*137*139*151*163*173*179*181*193*211*227*233*239*241*257*263*271*281*283) 283# S=90478983431856903059793039598399550260092947 M=283#/N N=2*5*13*19*31*37*43*53*59*61*67*73*89*97*101*113*131*137*139*151*157*163*167*179*181*191*211*229*239*241*269 (293# S=28785414419790736922625484008822036867243929 M=293#/N ; p(n=62) = 293 N=2*5*11*17*19*23*37*41*73*79*101*103*107*127*131*137*139*149*151*173*179*181*191*227*241*257*269*271*277*283*293) (293# S=76641899436920473162142285885136964001628439 M=293#/N N=3*5*7*13*29*37*41*53*59*61*73*89*101*109*113*131*139*149*151*163*197*211*229*233*239*257*263*277*281*283*293) 293# S=207483878035695266558121676470668950640492873 M=293#/N N=7*17*19*29*31*41*43*47*53*59*61*67*71*73*97*101*107*127*131*137*151*163*173*193*199*227*239*269*271*283*293 (307# S=642285239298594285936095502552579485268725333 M=307#/N ; p(n=63) = 307 N=2*3*13*23*29*31*41*43*47*53*59*73*89*103*109*127*139*149*151*157*167*181*193*197*199*223*227*229*251*257*263*293) (307# S=995909074100293432319668887999573074344360523 M=307#/N N=2*3*7*11*13*17*19*29*31*37*59*67*73*79*97*107*127*137*139*163*179*191*197*199*211*223*229*233*239*251*263*277*283) 307# S=1006581317843002546599767292067762374393760993 M=307#/N N=2*23*31*37*43*47*67*73*79*83*101*107*139*149*151*163*181*191*193*197*199*211*227*241*263*269*271*277*283*293 (311# S=2391408012477634996245444651216307050009210287 M=311#/N ; p(n=64) = 311 N=2*3*5*7*11*13*17*29*37*43*47*53*61*67*79*103*109*113*137*149*163*181*191*193*199*211*223*227*241*257*269*271*281*307) (311# S=3377182831222565859224059782831287182655029561 M=311#/N N=7*11*13*17*23*37*43*53*83*101*103*109*139*151*163*167*173*179*181*193*197*211*227*229*241*251*257*271*281*293*307) 311# S=7247816265063743246824882827257359958956334309 M=311#/N N=2*5*7*11*13*17*19*31*41*59*61*67*89*107*109*113*131*137*151*157*163*179*193*199*223*241*257*269*271*283*293*307*311 313# S=34357998460648702647833768959192337819053939829 M=313#/N ; p(n=65) = 313 N=2*7*11*17*19*37*41*67*79*83*97*101*109*127*131*137*167*173*181*199*211*223*227*229*251*257*269*277*283*293*307*311 (313# S=46543061642177069746686604669517611245724349141 M=313#/N N=19*23*37*47*53*59*71*89*101*103*113*131*139*151*179*191*197*199*227*229*233*239*251*269*271*281*283*293*311*313) (313# S=47818343867338714927883334426947746061750795983 M=313#/N N=2*3*5*13*29*31*37*43*53*59*67*71*73*83*109*113*139*149*167*199*211*223*229*233*239*241*251*257*269*271*277*311*313) (...) In Klammern: Differenz S=1 oder faktorisierbar Zusammenfassung der minimalsten S-Werte mit Faktorisierung: 2# ; 3# ; 5# ; 7# ==> 1 n=5 ; 11# ==> 13 prim n=6 ; 13# ==> 17 prim n=7 ; 17# ==> 1 n=8 ; 19# ==> 41 prim n=9 ; 23# ==> 157 prim n=10 ; 29# ==> 1811 prim n=11 ; 31# ==> 1579 prim n=12 ; 37# ==> 18859 prim n=13 ; 41# ==> 95533 = 83*1151 n=14 ; 43# ==> 17659 prim n=15 ; 47# ==> 1995293 prim n=16 ; 53# ==> 208303 = 67*3109 n=17 ; 59# ==> 2396687 prim n=18 ; 61# ==> 58513111 = 137*427103 n=19 ; 67# ==> 299808329 = 107*379*7393 n=20 ; 71# ==> 2460653813 = 307*907*8837 n=21 ; 73# ==> 3952306763 prim n=22 ; 79# ==> 341777053 prim n=23 ; 83# ==> 115405393057 = 62311*1852087 n=24 ; 89# ==> 437621467859 = 24763*17672393 n=25 ; 97# ==> 1009861675153 = 617*3793*431513 n=26 ; 101# ==> 6660853109087 = 21649*307674863 n=27 ; 103# ==> 29075165225531 prim n=28 ; 107# ==> 418895584426457 = 241*1738155951977 n=29 ; 109# ==> 2371362636817019 = 11197*71237*2972971 n=30 ; 113# ==> 6889206780487667 = 167*41252735212501 n=31 ; 127# ==> 5258351738694673 = 461*566413*20137961 n=32 ; 131# ==> 19193968546850561 = 6073*7309*432417773 n=33 ; 137# ==> 1157424575582244547 = 226553*5108846828699 n=34 ; 139# ==> 18534732682906712369 = 2593*14503*492862712711 n=35 ; 149# ==> 44413798987295791 prim n=36 ; 151# ==> 427009256730780749983 = 104428799*4088999019617 n=37 ; 157# ==> 1288425690589837107401 = 359*3588929500250242639 n=38 ; 163# ==> 83398624432260821663879 = 293*254369*1118992264996187 n=39 ; 167# ==> 99210975327814763627429 = 5009*6913733*2864811714257 n=40 ; 173# ==> 24515656874955623051009 = 1033*7121*10859*306910957307 n=41 ; 179# ==> 10939834021009425543615727 = 50480083*117144061*1849994329 n=42 ; 181# ==> 44864514852383863637556089 = 80209*461677*2404037*503965129 n=43 ; 191# ==> 550936092460340602301576123 = 863*638396399142920744266021 n=44 ; 193# ==> 1258037238415031029687067837 = 67577*2365217*7870885540634693 n=45 ; 197# ==> 15517190258498775669742309769 = 929*8747*1909581702316239400763 n=46 ; 199# ==> 175392071879129154383453227103 = 101929*105683*16281974187184359229 n=47 ; 211# ==> 18801817706481555416524888271 = 7213*2606657106125267630185067 n=48 ; 223# ==> 2128835833812637422214037338831 = 2768709803*17565737941*43772195897 n=49 ; 227# ==> 3817975420950451294699330907083 prim n=50 ; 229# ==> 255251061836402025957351382265603 = 15391*2347559*7064545120368717976987 n=51 ; 233# ==> 1412640941944366357509486396556567 = 743*1489*2687*475204572791266732592383 n=52 ; 239# ==> 9242091965209445865373606793782483 prim n=53 ; 241# ==> 554859412170362801638074499888523387 prim n=54 ; 251# ==> 381323511525804653316065057864073893 = 257*1647013*3140815769713*286827620760721 n=55 ; 257# ==> 35437332977701517188420177171620992897 = 42683*78229*10613003663981178452085908071 n=56 ; 263# ==> 11120574317959615760444012191623780653 = 1013*17923*473293*1294127259700000130108479 n=57 ; 269# ==> 498984587025842154529896957116622307357 = 3373*82035979*19328848232717*93295446723263 n=58 ; 271# ==> 3509110547516272260024631778111819009611 = 48647*57335957832383*1258096386346494075811 n=59 ; 277# ==> 52700212541449212397193789833559410594327 = 587*1003086284650332401*89502666299009965621 n=60 ; 281# ==> 933292757411139393442548940297162269910769 = 12011*13069454891*45079166443*131888028873240683 n=61 ; 283# ==> 439786274319845121572939177384960378551057 = 1254433*350585702321164320113500822590732529 n=62 ; 293# ==> 28785414419790736922625484008822036867243929 = 617*46653832122837499064222826594525181308337 n=63 ; 307# ==> 642285239298594285936095502552579485268725333 = 1951*329208221065399428978008971067442073433483 n=64 ; 311# ==> 2391408012477634996245444651216307050009210287 = 155821*320852237087*7684703228071*6224371719733411 n=65 ; 313# ==> 34357998460648702647833768959192337819053939829 prim Mittlerer Erwartungswert für Smin ist ungefähr Wurzel[p(n)#]*p(n)/2^(n+1.3) Middle expectation for Smin is approximate sqrt[p(n)#]*p(n)/2^(n+1.3) 2^1.3 ist not a constant, but for n->oo is >3 More precise: sqrt[p(n)#]*ln[p(n)#]/2^n/[0.4*sqrt(n)-0.123] Simplification: Smin < 4.1*e^[p(n)/2-n*ln(2)] John Harvester's conjecture Smin = min(x-y) < e^[p(n)/e] is for me false! n p(n) e^[p(n)/e] ; sqrt[p(n)#]*ln[p(n)#]/2^n/[0.4*sqrt(n)-0.123] ; 4.1*e^[p(n)/2-n*ln(2)] 25 97 3.14E+15 ; 2.02E+12 ; 1.41E+14 45 197 2.98E+31 ; 1.27E+28 ; 6.99E+29 62 293 6.49E+46 ; 2.84E+43 ; 3.74E+45 78 397 2.68E+63 ; 1.15E+59 ; 2.19E+63 125 691 2.51E+110 ; 1.90E+109 ; 1.08E+113 168 997 1.94E+159 ; 2.24E+159 ; 3.43E+166 1229 9973 2.32E+1593 ; 5.94E+1781 ; 1.80E+1796 9592 99991 2.31E+15975 ; 2.16E+18762 ; 8.00E+18825 78498 999983 1.97E+159765 ; 6.05E+193191 ; 8.12E+193513 664579 9999991 4.73E+1597698 ; 7.67E+1970371 ; 7.15E+1971412 Die kleinste Differenz S von M-N, wenn M*N die Faktultät ist: Weitere Informationen siehe unter: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A061057 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A038667 (3! S=1 M=3 N=2) 3! S=5 M=6 N=1 [4! S=2 M=6 N=4] 4! S=5 M=8 N=3 [5! S=2 M=12 N=10] 5! S=7 M=15 N=8 [6! S=6 M=30 N=24] 6! S=29 M=45 N=16 [7! S=2 M=72 N=70] 7! S=17 M=80 N=63 [8! S=18 M=210 N=192] (8! S=187 M=315 N=128) 8! S=577 M=640 N=63 [9! S=54 M=630 N=576] 9! S=73 M=640 N=567 [10! S=30 M=1920 N=1890] 10! S=233 M=2025 N=1792 [11! S=36 M=6336 N=6300] 11! S=163 M=6400 N=6237 [12! S=576 M=22176 N=21600] (12! S=6889 M=25600 N=18711) 12! S=246907 M=248832 N=1925 [13! S=576 M=79200 N=78624] 13! S=127 M=78975 N=78848 [14! S=840 M=295680 N=294840] (14! S=4811 M=297675 N=292864) 14! S=768373 M=868725 N=100352 [15! S=928 M=1144000 N=1143072] (15! S=80753 M=1184625 N=1103872) 15! S=58024097 M=58046625 N=22528 [16! S=3712 M=4576000 N=4572288] 16! S=220699 M=4685824 N=4465125 [17! S=20160 M=18869760 N=18849600] 17! S=2476673 M=20138625 N=17661952 [18! S=93696 M=80061696 N=79968000] (18! S=19062931 M=90112000 N=71049069) 18! S=62686387 M=117277875 N=54591488 [19! S=420480 M=348986880 N=348566400] (19! S=98361971 M=401408000 N=303046029) 19! S=194310377 M=459210752 N=264900375 [20! S=800640 M=1560176640 N=1559376000] (20! S=305388659 M=1719926784 N=1414538125) 20! S=452307689 M=1802240000 N=1349932311 [21! S=1305696 M=7148445696 N=7147140000] (21! S=4741986523 M=9901766875 N=5159780352) 21! S=15557917873 M=18343197873 N=2785280000 [22! S=7983360 M=33530112000 N=33522128640] (22! S=11300701469 M=39649280000 N=28348578531) 22! S=34363312721 M=54854060625 N=20490747904 [23! S=55056804 M=160813154304 N=160758097500] 23! S=28070942593 M=175432531968 N=147361589375 [24! S=65318400 M=787718131200 N=787652812800] (24! S=7768978981 M=791579538981 N=783810560000) 24! S=310732182977 M=958227862977 N=647495680000 [25! S=326592000 M=3938590656000 N=3938264064000] 25! S=129584590601 M=4003752574976 N=3874167984375 [26! S=2286926400 M=20083261440000 N=20080974513600] (26! S=2508328168751 M=21375406309376 N=18867078140625) 26! S=24875527428347 M=36059563546875 N=11184036118528 [27! S=2610934480 M=104351051284480 N=104348440350000] 27! S=15623013544027 M=112453224497152 N=96830210953125 [28! S=13680979200 M=552173794099200 N=552160113120000] (28! S=89100266865653 M=598511376662528 N=509411109796875) 28! S=3051860074967131 M=3148690285920256 N=96830210953125 [29! S=18906930876 M=2973519499493376 N=2973500592562500] 29! S=340614168279631 M=3148690285920256 N=2808076117640625 [30! S=674165366496 M=16286922357866496 N=16286248192500000] 30! S=1078746929069189 M=16834887680000000 N=15756140750930811 [31! S=326850970500 M=90680032493568000 N=90679705642597500] (31! S=2266635234045071 M=91820268514045071 N=89553633280000000) 31! S=32813357162411389 M=108558823191328125 N=75745466028916736 [32! S=16753029012720 M=512971179263262720 N=512954426234250000] (32! S=562580796059393 M=513244170203168768 N=512681589407109375) 32! S=37933921801524317 M=532280298482696192 N=494346376681171875 [33! S=16880461678080 M=2946755395584000000 N=2946738515122321920] (33! S=103664230981769531 M=2999034888801222656 N=2895370657819453125) 33! S=822485629208603501 M=3386547550488603501 N=2564061921280000000 [34! S=10176199188480 M=17182344830976000000 N=17182334654776811520] (34! S=1234198575600200783 M=17810516940221841408 N=16576318364621640625) 34! S=9469972493356715507 M=22557805714872421875 N=13087833221515706368 [35! S=26657309952000 M=101652106107831552000 N=101652079450521600000] (35! S=1177941765555971333 M=102242769892391518208 N=101064828126835546875) 35! S=101617443310267853249 M=164451469609479962624 N=62834026299212109375 [36! S=159943859712000 M=609912636646989312000 N=609912476703129600000] (36! S=10860122696779822339 M=615366789506441150464 N=604506666809661328125) 36! S=61007467086228868813 M=641178609847986290688 N=580171142761757421875 [37! S=2991479674392000 M=3709954742241547800000 N=3709951750761873408000] 37! S=377243649857984805997 M=3903366941900800000000 N=3526123292042815194003 [38! S=26453863460044800 M=22869700970029056000000 N=22869674516165595955200] (38! S=747727512086163255301 M=23246607176426298802176 N=22498879664340135546875) 38! S=5034754243125582699047 M=25525197640655182699047 N=20490443397529600000000 [39! S=206004565674379008 M=142821257181935274379008 N=142821051177369600000000] (39! S=960620875901126670389 M=143302272262154083203125 N=142341651386252956532736) 39! S=12045546629272945155457 M=148970861373193382264832 N=136925314743920437109375 [40! S=470500040794291200 M=903280525773373440000000 N=903280055273332645708800] (40! S=21649042970861890002929 M=914169667879258806640625 N=892520624908396916637696) 40! S=222668649971780571202213 M=1021450040248494444249088 N=798781390276713873046875 [41! S=2323929740464193400 M=5783817083410257766875000 N=5783814759480517302681600] (41! S=55132139814079855731361 M=5811447681884754580340736 N=5756315542070674724609375) 41! S=460154117953057927195091 M=6018467341795328000000000 N=5558313223842270072804909 [42! S=20720967220237197312 M=37483421594694768000000000 N=37483400873727547762802688] (42! S=436737087299664876030469 M=37702415851454464000000000 N=37265678764154799123969531) 42! S=3133661782485281881250587 M=39082975106695168000000000 N=35949313324209886118749413 [43! S=69638496398882611200 M=245795199668711924642611200 N=245795130030215525760000000] (43! S=26902123409785129947211 M=43!/N ; M,N = Wurzel[43!+S^2/4]±S/2 N=2^39*3^19*11^3*17^2) 43! S=2250050794980362959013389 M=43!/N N=3^19*5^9*11^3*13^3*29*31*41 [44! S=61690805562507264000 M=44!/N N=2^20*3^5*5^6*7^6*11^2*13^2*17^2*19*31] (44! S=7557157553191477445017313 M=44!/N N=2^41*3^19*19^2*41*43) 44! S=143456958378331594714777823 M=44!/N N=2^41*5^9*17^2*23*31*41*43 [45! S=416497216789463040000 M=45!/N N=2^24*3^2*5^6*7^3*11*13^3*17*23*29*31*37*43] (45! S=65885631820905585115549673 M=45!/N N=3^21*7^6*13^3*17^2*19^2*29*31*43) 45! S=979671023685094470429406739 M=45!/N N=2^41*5^10*11^4*29*31*37 [46! S=9203996481363478738944 M=46!/N N=2^11*3^15*7^3*11^2*13^2*17*19^2*29*31*37*41*43] (46! S=398319211723883737153288139 M=46!/N N=2^42*5^10*7^6*11^4) 46! S=2284489967083573433385339283 M=46!/N N=2^42*11^4*13^3*19^2*29*31*37*43 [47! S=7762015594329384960000 M=47!/N N=2^14*3^12*5^4*7^6*11^2*13*17*19*29*31*37*47] (47! S=1435042405914616118683054153 M=47!/N N=3^21*5^10*13^3*17^2*19^2*23^2*41) 47! S=7873562110227736379569165369 M=47!/N N=2^42*5^10*11^4*23^2*37*41 [48! S=32534667324953555107840 M=48!/N N=2^23*5*7^6*11^4*13*17^2*19^2*23*29*31*37*47] (48! S=21787230359356358871654911267 M=48!/N N=3^22*5^10*11^4*19^2*29*37*43*47) 48! S=66905053252627520699399092729 M=48!/N N=3^22*5^10*17^2*23^2*29*31*41*43*47 [49! S=227742671274674885754880 M=49!/N N=2^23*5*7^7*11^4*13*17^2*19^2*23*29*31*37*47] (49! S=13738561304906698116619643873 M=49!/N N=5^10*7^8*11^4*13^3*19^2*23^2*37*41*47) 49! S=18753889195374712468811443207 M=49!/N N=3^22*5^10*7^8*19^2*29*31*43 [50! S=946327767039962926080000 M=50!/N N=2^13*3^21*5^4*7^7*11^2*19*23*37*43*47] (50! S=613325497963496948047820147441 M=50!/N N=5^12*7^8*11^4*13^3*17^2*19^2*29*31*41) 50! S=17706245491169191438398392800679 M=50!/N N=2^47*7^8*11^4*19^2*29*31*43 [51! S=3568271593007086918799616 M=51!/N N=2^8*3^11*5^12*7^4*11^2*17^2*19*23*37*41*43*47] [52! S=20218804109333464320000000 M=52!/N N=2^14*3^14*5^6*7^3*13^4*19*23^2*29*31*41*43*47] [53! S=213060616803329081824800000 M=53!/N N=2^41*3^4*5^7*7^3*11^4*17*19*31*41*43*53] [54! S=3678271958960426245017600000 M=54!/N N=2^15*3^10*5^7*7^2*11^2*13^3*17^2*19*23^2*29*31*41*43*53] [55! S=11494707310064535121022976000 M=55!/N N=2^15*3^11*5^10*7^5*11^5*13^4*23^2*29*53] [56! S=217018448461953024000491520000 M=56!/N N=2^35*3^22*5^4*11^4*13^2*19*23^2*37*43] [57! S=878330823899470007154278400000 M=57!/N N=2^35*3^5*5^8*7^4*11^5*19^3*23^2*29*37*41] [58! S=765210902106499465301119733760 M=58!/N N=2^42*3^6*5^12*7^2*11*13^4*17^3*19*29*47] [59! S=29995774177167976906260684472320 M=59!/N N=2^34*3^25*5*7^7*11^2*13*17^2*19*23^2*43] [60! S=88472469958999993651590063562500 M=60!/N N=2^54*3^13*5^8*7*17^2*23*29*41*47*53*59] [61! S=602970674094190895182403968800000 M=61!/N N=2^48*3^8*5^9*7^5*13*17^3*29*41*43*59*61] [62! S=484378196705587547734384092119040 M=62!/N N=2^29*3^5*5*7^7*11*13^3*17^3*19^3*29*31*37*43*47*53*59*61] [63! S=3253482044454260981216727205791920 M=63!/N N=2^4*3^30*5^13*7^5*11*13^4*17*31*37*41*43*61] [64! S=26027856355634087849733817646335360 M=64!/N N=2^7*3^30*5^13*7^5*11*13^4*17*31*37*41*43*61] (64! S=86484240798369495194913816014528940158081 M=64!/N N=2^63*5^14*13^4*31^2*37*41*47*53*61) 64! S=9373280550092324750654230528270654833803693 M=64!/N N=2^63*7^10*11^5*17^3*19^3*23^2*47 [65! S=61127265815359799875389074778882048 M=65!/N N=2^43*3^2*5^15*11^2*17^3*19^2*23*29*31*41*43*47*53*61] (65! S=5476902126963900000856248828590038748644123 M=65!/N N=2^63*7^10*11^5*19^3*23^2*31^2*37*53) 65! S=60564317832919645088186012554847802698272981 M=65!/N N=2^63*7^10*11^5*13^5*23^2*29^2*41 [...] In eckigen Klammern: ggT(M,N)>1 und wenn die Differenz S>3 ist, ist S faktorisierbar (...) In Klammern: ggT(M,N)=1 und die Differenz S=1 oder faktorisierbar 02.11.2008 Richard Fischer