Thema: Minimale Differenzen mit Potenzzahlen d = p^m - q^n Main index: http://www.fermatquotient.com/ 19.12.2019 hinzugefügt: Lösung für d = 10 = 13^3 - 3^7 d = 21, 29, 30, 33, 38, 43, 46 11.06.2021 erweitert mit den Potenzen 4 und höher Weitere Internetseiten der kleinen Differenzen der Potenzen 2 mit 3 siehe unter: http://www.math.harvard.edu/~elkies/hall.html http://arxiv.org/pdf/math.NT/0504579 http://www.hellenicaworld.com/Science/Mathematics/en/HallsConjecture.html Allgemeiner Hinweis: Die unendlich oft vorkommenden Null-Differenzen sind hier nicht gemeint, wie z. B. 4^3 - 8^2 = 0, sondern nur deren Abweichung. Das Resultat der nach unten gefundenen Minima: 601724682280310364065^3 - 14760352846222715769526264252072^2 = 13027681441 , rel. 0.53109 3520285428968457987270549269046^2 - 231411667627225650649^3 = 4103440667 , rel. 0.26975 51698891432429706382^3 - 371725065005153455971974971439^2 = 4101044247 , rel. 0.57037 298337482964268699552903650896^2 - 44648329463517920535^3 = 3732472441 , rel. 0.55859 42532374580189966073^3 - 277382747164996776244709473092^2 = 1878790553 , rel. 0.28808 9870884617163518770^3 - 31012309752051601656131750312^2 = 1651035656 , rel. 0.52551 729776066875686841903714597^2 - 810574762403977064^3 = 193234265 , relativ 0.21463 38115991067861271^3 - 7441505802879036345061579^2 = 30032270 , relativ 0.15383 5853886516781223^3 - 447884928428402042307918^2 = 1641843 , relativ 0.021459 952764389446^3 - 929989991784733049^2 = 852135 , relativ 0.87300 169931236294^3 - 70050271932896581^2 = 610623 36743243553469223^2 - 110522744561^3 = 393248 16797736678114635^2 - 65589428378^3 = 117073 , relativ 0.45713 233387325399875^2 - 3790689201^3 = 28024 , relativ 0.45517 7720258643465^2 - 390620082^3 = 14857 , relativ 0.75172 7531969451458^2 - 384242766^3 = 14668 , relativ 0.74829 1917035856801^2 - 154319269^3 = 11492 , relativ 0.92509 1166004406095^2 - 110781386^3 = 8569 , relativ 0.81414 149651610621^2 - 28187351^3 = 1090 , relativ 0.20530 939787^3 - 911054064^2 = 307 , relativ 0.31668 611085363^2 - 720114^3 = 225 = 15^2 , relativ 0.26514 367806^3 - 223063347^2 = 207 , relativ 0.34132 736844^2 - 8158^3 = 24 , relativ 0.26572 378661^2 - 5234^3 = 17 , relativ 0.23498 1138^2 - 109^3 = 15 312^2 - 46^3 = 8 = 2^3 2^15 - 181^2 = 7 2^7 - 5^3 = 3 3^3 - 5^2 = 2 3^2 - 2^3 = 1 , relativ 0.70711 relativ = Differenz / Subtrahend^(1/6) < 1 Weitere gefundene interessante Nicht-Minima der Potenzen 2 mit 3: 984080142516764562968989418^2 - 989358400353404032^3 = 1802857956 323735917730141272082452675^2 - 471477085999389882^3 = 497218657 , relativ 0.72413 216918134001329363260053721^2 - 361019427541366699^3 = 825515742 322001299796379844^3 - 182720147509505842286585077^2 = 548147655 , relativ 0.96598 274222884733724680^3 - 143600364654379076221222758^2 = 630105436 51613150480244683^3 - 11725747933529581744894389^2 = 448876666 6888628103510825057666575^2 - 36203883558324591^3 = 322673554 4984943346772294542965001^2 - 29181446653006484^3 = 204942097 24471042422424075^3 - 3828059724022537983258680^2 = 210079475 23415546067124892^3 - 3583079427427216338463344^2 = 105077952 , rel. 0.68669 (kürzbar) 2138952809702638708681258^2 - 16600995636482658^3 = 201628252 1450464785804241566052031^2 - 12813608766102806^3 = 87002345 , relativ 0.76859 88273715670441647759137^2 - 1982535343319757^3 = 73293676 467609329539641^3 - 10111713386113710659937^2 = 31107752 2486915036412948872292^2 - 183558274035902^3 = 25042456 133662411473299^3 - 1545304033874053785316^2 = 15530043 388000045789691815013^2 - 53197086958290^3 = 4401169 , relativ 0.60343 35495694227489^3 - 211477180624706647625^2 = 5190544 , relativ 0.87121 16544006443618^3 - 67291628068556097113^2 = 4090263 15972973971249^3 - 63837912322367612188^2 = 4203905 12438517260105^3 - 43868513629203032816^2 = 2767769 , relativ 0.78478 9893065763427813546^2 - 4608439927403^3 = 2214289 2434890738626^3 - 3799436728831705353^2 = 1923767 2115366915022^3 - 3076653313196539392^2 = 2860984 2525501838178208327^2 - 1854521158546^3 = 2383593 2520597952713197920^2 - 1852119707102^3 = 2381192 883159081174560245^2 - 920504591919^3 = 2655466 231892430149^3 - 111668287948640582^2 = 1299225 65979586563^3 - 16947841151752714^2 = 589751 16261592303820938^2 - 64186256270^3 = 316844 16175094684477187^2 - 63958443730^3 = 315969 11239150700^3 - 1191516996417146^2 = 214684 10163640792^3 - 1024646265248575^2 = 142463 889640218022638^2 - 9250025683^3 = 192057 491059097076763^2 - 6224280756^3 = 236953 485033910957017^2 - 6173262372^3 = 235441 474833027799959^2 - 6086401710^3 = 190681 3171881612^3 - 178638660622364^2 = 64432 167213946472049^2 - 3035160521^3 = 157640 88088243191777^2 - 1979757358^3 = 91017 47045395221186^2 - 1303201029^3 = 99207 1053831624^3 - 34210296678956^2 = 88688 912903445^3 - 27582731314539^2 = 63604 890838663^3 - 26588790747913^2 = 44678 8882343339054^2 - 428895712^3 = 30788 184151166^3 - 2498973838515^2 = 37071 140292677^3 - 1661699554612^2 = 22189 1244779822617^2 - 115716430^3 = 21689 1137947555953^2 - 108997072^3 = 20961 1091507542127^2 - 106011056^3 = 20513 1049747744368^2 - 103289609^3 = 25895 144715764559^2 - 27564105^3 = 6856 11261735055^2 - 5024238^3 = 3753 880265693^2 - 918493^3 = 1092 657547^3 - 533200074^2 = 847 432646071^2 - 572034^3 = 1737 346447650^2 - 493278^3 = 1548 445650^3 - 297502669^2 = 1439 273505487^2 - 421351^3 = 618 , relativ 0.95206 153761^3 - 60293333^2 = 1192 53210965^2 - 141471^3 = 1114 40116655^2 - 117188^3 = 353 28748141^2 - 93844^3 = 297 , relativ 0.96951 17825798^2 - 68239^3 = 885 10203669^2 - 47044^3 = 377 5282908^2 - 30333^3 = 427 11815^3 - 1284253^2 = 366 5215^3 - 376601^2 = 174 169852^2 - 3067^3 = 141 2904^3 - 156493^2 = 215 137190^2 - 2660^3 = 100 = 10^2 14113^2 - 584^3 = 65 568^3 - 13537^2 = 63 6717^2 - 356^3 = 73 3788^2 - 243^3 = 37 (Bemerkung: 243^3 = 3^15) 375^2 - 52^3 = 17 282^2 - 43^3 = 17 253^2 - 40^3 = 9 = 3^2 35^3 - 207^2 = 26 83^2 - 19^3 = 30 17^3 - 70^2 = 13 15^3 - 58^2 = 11 47^2 - 13^3 = 12 19^2 - 7^3 = 18 15^2 - 6^3 = 9 = 3^2 5^3 - 11^2 = 4 = 2^2 Man betrachte einmal die Logarithmenverhältnisse, wie genau sie sein müssen, damit eine wirklich kleine Differenz entsteht. ln736844 / ln8158 = 1.5000000000024539... ln911054064 / ln939787 = 1.49999999999999998655... ln233387325399875 / ln3790689201 = 1.500000000000000000000000011... Das Resultat der nach unten gefundenen Minima, die PRIM sind: 298337482964268699552903650896^2 - 44648329463517920535^3 = 3732472441 982272014645373567^3 - 973526228076633904852676470^2 = 2080814363 40760982540868597777053055^2 - 118439462932816326^3 = 1222539049 50643694666709628^3 - 11396935032462927010562167^2 = 966705263 142059710610346355362601^2 - 2722579794458084^3 = 573948497 1076601574742619^3 - 35325028107607563589514^2 = 452806463 669640931397790^3 - 17328580478992899359019^2 = 369496639 434180065305275^3 - 9047004773027088710544^2 = 100895939 2220516969459497185109^2 - 170203857079058^3 = 35878769 109368967752843600721^2 - 22869819771858^3 = 10759129 1036587562069533749^2 - 1024245337460^3 = 5059001 92708005067222233^2 - 204838454556^3 = 2394673 36615562646537089^2 - 110266555424^3 = 1328897 65979586563^3 - 16947841151752714^2 = 589751 2875418499314331^2 - 20220910564^3 = 491417 485033910957017^2 - 6173262372^3 = 235441 1789837405^3 - 75721702503606^2 = 201889 1899367765635^2 - 153369632^3 = 149257 1731348576567^2 - 144185972^3 = 55441 140292677^3 - 1661699554612^2 = 22189 1116705^3 - 1180069786^2 = 16829 939787^3 - 911054064^2 = 307 (40116655^2 - 117188^3 = 353) 378661^2 - 5234^3 = 17 (55^5 - 22434^2 = 19) 375^2 - 52^3 = 17 282^2 - 43^3 = 17 2^15 - 181^2 = 7 (56^2 - 5^5 = 11) 2^7 - 5^3 = 3 3^3 - 5^2 = 2 Das Resultat für Potenzen nur ab 3 von 2^152 (5.71E+45) nach unten lautet: 232456741367^4 - 1429298245570572^3 = 6.665139405873269473E+18 , relativ 0.75841 111829570686^4 - 538776788021014^3 = 2.195775161269924472E+18 , relativ 0.84592 75611795903^4 - 319731975617634^3 = 1.081968201936301177E+18 , relativ 0.80026 21536614011^4 - 59919737116447^3 = 8.76013559211104018E+17 35922824355009^3 - 14673302000^4 = 5.56543603993265729E+17 35665838593825^3 - 14594503663^4 = 4.47729925394520864E+17 13207724605^4 - 31220319255860^3 = 1.18623401826244625E+17 8128091990^4 - 16342486949121^3 = 9.8648560606311439E+16 4757585771^4 - 8001698231981^3 = 6.2364241586593340E+16 4738240505^4 - 7958345716975^3 = 6.739005613391250E+15 , relativ 0.50416 2053081861^4 - 2609406188453^3 = 389374797433364 , relativ 0.11741 671960665^4 - 588561434613^3 = 425847430366228 , relativ 0.82607 278864067^4 - 182189527366^3 = 212600849615225 270640851^4 - 175061696898^3 = 118035345945609 99286131022^3 - 176874995^4 = 18643775722023 , relativ 0.33452 25125204605^3 - 1738064^5 = 10633202963301 , mit der 3. und 5. Potenz ! 8726707852^3 - 28552085^4 = 5719776653583 8374126805^3 - 27682458^4 = 3918976238429 17041145^4 - 4385290442^3 = 1644993519737 2124921578^3 - 394826^5 = 1238456287176 2104527924^3 - 9825757^4 = 137318688623 , relativ 0.30464 5947459^4 - 1077561193^3 = 110234479704 , relativ 0.56463 183284004^3 - 1575228^4 = 76149695808 159169695^3 - 1417083^4 = 35977203054 808076^4 - 75266712^3 = 23469538048 616829^4 - 52507303^3 = 16213980954 548554^4 - 44904774^3 = 3208722232 , relativ 0.87290 20986715^3 - 310069^4 = 2515248754 141362^4 - 7363940^3 = 496937936 131034^4 - 6655469^3 = 493105627 3639608^3 - 83328^4 = 253062656 42385^4 - 1477802^3 = 236877017 1459573^3 - 4995^5 = 157543642 34564^4 - 1125897^3 = 124539943 22934^4 - 651588^3 = 108013264 17976^4 - 470895^3 = 86836401 397942^3 - 15844^4 = 2803992 , relativ 0.28054 191993^3 - 9172^4 = 882601 , relativ 0.21961 18948^3 - 1615^4 = 336767 6897^3 - 201^5 = 295272 6783^3 - 199^5 = 49688 1909^3 - 93^5 = 48736 217^4 - 1304^3 = 31457 215^4 - 1288^3 = 30753 927^3 - 168^4 = 3807 , relativ 0.74428 294^3 - 71^4 = 503 , relativ 0.41318 146^3 - 42^4 = 440 , relativ 0.86704 6^7 - 23^4 = 95 , relativ 0.51071 37^3 - 15^4 = 28 , relativ 0.30691 13^3 - 3^7 = 10 , relativ 0.40588 2^7 - 5^3 = 3 , relativ 0.40124 relativ = Differenz / Subtrahend^(5/12) < 1 Weitere gefundene interessante Nicht-Minima: 156666578293431^3 - 328840890^5 = 2.4993132026750081991E+19 314033376^5 - 145086280410116^3 = 1.7885383517351788480E+19 25454804119503^3 - 110525339^5 = 1.47759578558365828E+17 21194961^5 - 1623258564586^3 = 1.08181724570488745E+17 347342047732^3 - 8403388^5 = 9.319357663944000E+15 1706886^5 - 24378530707^3 = 220938903110933 177682^5 - 561572359^3 = 548539422153 55290280^3 - 44217^5 = 45117191143 12634^5 - 6853327^3 = 6007726641 44243259^3 - 542482^4 = 3489758003 , relativ 0.96713 1965781^3 - 498^7 = 1539250669 2759636^3 - 7320^5 = 775451456 198636^3 - 97^8 = 165506495 88^7 - 34445^3 = 12965867 8786^3 - 49^7 = 1618807 408^5 - 22444^3 = 920384 6502^3 - 2^38 = 671064 33^7 - 3493^3 = 178820 3251^3 - 32^7 = 83883 122^5 - 3001^3 = 72631 11^7 - 269^3 = 22062 117^3 - 3^13 = 7290 119^3 - 6^8 = 5543 5^8 - 73^3 = 1608 23^5 - 186^3 = 1487 39^3 - 3^10 = 270 2^13 - 20^3 = 192 11^3 - 6^4 = 35 3^5 - 6^3 = 27 = 3^3 2^10 - 10^3 = 24 2^5 - 3^3 = 5 Logarithmenverhältnis-Beispiele: ln397942 / ln15844 = 1.333333333334867... ln6783 / ln199 = 1.66666667669... Das Resultat von 2^152 (5.71E+45) nach unten mit den Potenzen 4 und höher lautet: 88348377237^4 - 571424506^5 = 6.05617865798240942112785E+23 , relativ 0.50184 286559913^5 - 37283724983^4 = 3.66341745405622590207272E+23 166149049^5 - 18863502101^4 = 1.31520256297303554751848E+23 134831669^5 - 14529139313^4 = 3.9611846312317260492388E+22 10845097116^4 - 106705488^5 = 1.745078970286806720768E+21 , relativ 0.14598 2714420185^4 - 35232354^5 = 1.630192752550057041601E+21 1607031097^4 - 23164313^5 = 4.40874085737344448488E+20 817408057^4 - 13488111^5 = 7.7454282213849910450E+19 7433511^5 - 388143650^4 = 2.3314479591560778551E+19 367806^6 - 223063347^4 = 2.0599504304784800175E+19 4707167^5 - 219255001^4 = 5.626383316149700606E+18 174372647^4 - 3919067^5 = 2.636911223335598774E+18 110590910^4 - 2722548^5 = 1.933730550242006032E+18 1827122^5 - 67175272^4 = 1.883280853376409376E+18 58536693^4 - 1636600^5 = 1.868991610209310001E+18 1601685^5 - 56979861^4 = 1.60026940151232084E+17 26103440^4 - 857745^5 = 1.2345141711619375E+16 , relativ 0.59533 13924690^4 - 518834^5 = 9.097090656590576E+15 449887^5 - 11651432^4 = 6.010567810308831E+15 422295^5 - 10765146^4 = 2.459553326652519E+15 , relativ 0.83255 338295^5 - 8158672^4 = 1.207610043439319E+15 , relativ 0.75225 213749^5 - 4596001^4 = 1.067297296059748E+15 3108788^4 - 156341^5 = 218731541177435 3053^7 - 1253926^4 = 163510349446261 992364^4 - 62710^5 = 97704846682016 736844^4 - 8158^6 = 26061075855552 43811^5 - 633839^4 = 19498675657810 34454^5 - 469407^4 = 12734529337823 378661^4 - 5234^6 = 4875061199025 24858^5 - 312128^4 = 2357536529312 163516^4 - 14820^5 = 846871649536 11944^5 - 124864^4 = 39864926208 , relativ 0.24458 110557^4 - 10836^5 = 23641231825 , relativ 0.18957 39019^4 - 4710^5 = 20421034321 55^10 - 22434^4 = 19124805889 2214^5 - 15187^4 = 13587702863 1298^5 - 7791^4 = 5471402207 1294^5 - 7761^4 = 5412615583 1232^5 - 7299^4 = 552499631 4455^4 - 830^5 = 337050625 534^5 - 2567^4 = 280994303 2561^4 - 533^5 = 224717948 528^5 - 2531^4 = 97516847 59^7 - 1256^4 = 31653523 1171^4 - 285^5 = 14201956 257^5 - 1029^4 = 10629776 255^5 - 1019^4 = 10343054 473^4 - 138^5 = 5662273 375^4 - 52^6 = 4780961 312^4 - 46^6 = 1557440 12^9 - 268^4 = 1093376 21^7 - 206^4 = 274445 167^4 - 60^5 = 196321 53^5 - 143^4 = 33892 , relativ 0.61427 13^7 - 89^4 = 6276 , relativ 0.32287 6^7 - 23^4 = 95 , relativ 0.095923 2^8 - 3^5 = 13 , relativ 0.63367 relativ = Differenz / Subtrahend^(11/20) < 1 Weitere gefundene interessante Nicht-Minima: 939787^6 - 911054064^4 = 5.09631977623982577193E+20 611085363^4 - 720114^6 = 1.68041394392778745425E+20 7538543^4 - 8509^7 = 8.360992943224332E+15 72153^4 - 7702^5 = 44514341249 , relativ 0.91273 1138^4 - 109^6 = 38851095 253^4 - 40^6 = 1152081 2^30 - 181^4 = 458703 6^11 - 138^4 = 123120 15^6 - 58^4 = 74129 56^4 - 5^10 = 68871 7^7 - 30^4 = 13543 2^21 - 38^4 = 12016 3^12 - 2^19 = 7153 14^5 - 3^12 = 6383 12^4 - 3^9 = 1053 2^17 - 19^4 = 751 7^4 - 3^7 = 214 5^4 - 2^9 = 113 3^6 - 5^4 = 104 3^4 - 2^6 = 17 2^5 - 2^4 = 16 Die Durchrechnung der Variante ohne die Potenzen 3 und 4, ergab folgendes Resultat von 2^152 (5.71E+45) nach unten: 67637126852975733050765^2 - 1355420533^5 = 54048861547332 43261803341991248289670^2 - 1133553044^5 = 10994178352676 , relativ 0.28807 508474304661573068513^2 - 191649462^5 = 6209492106337 172740906^5 - 392182294155464110125^2 = 3979543124151 160288527589606620370^2 - 120770531^5 = 3544878155249 61355437795159288856^2 - 82251007^5 = 388792516929 , relativ 0.52120 6192728769628631902^2 - 32866452^5 = 51914621572 , relativ 0.27552 7626590^5 - 160629755809471299^2 = 7825152599 , relativ 0.37153 3534781882949349^2 - 1657086^5 = 6494693625 3133603351899555^2 - 1579129^5 = 4450651376 952463^5 - 885360790029464^2 = 2071791247 748635^5 - 484925830443335^2 = 595974650 , relativ 0.92007 747343^5 - 482836315990072^2 = 284679759 , relativ 0.44063 9104^7 - 71996746561757^2 = 152244535 , relativ 0.73817 17920089051165^2 - 200141^5 = 96020524 96001^5 - 2855547523353^2 = 80117392 44817^5 - 425213412449^2 = 77146256 44729^5 - 423129175811^2 = 50406928 414619915847^2 - 44367^5 = 9600802 104939539201^2 - 25608^5 = 8197633 104775699199^2 - 25592^5 = 8186369 44877249113^2 - 18231^5 = 1846618 , relativ 0.75017 44803437862^2 - 18219^5 = 1843945 , relativ 0.74983 5350^5 - 2093555387^2 = 780231 239^7 - 211053546^2 = 257963 185898039^2 - 2031^5 = 206370 183164286^2 - 2019^5 = 203697 45730778^2 - 1159^5 = 175485 42923597^2 - 1130^5 = 118409 804^5 - 18329057^2 = 115775 14645977^2 - 735^5 = 75154 14055482^2 - 723^5 = 72481 12325663^2 - 686^5 = 71393 10343752^2 - 12^13 = 58432 3878907^2 - 432^5 = 8217 , relativ 0.91514 3280601^2 - 404^5 = 8177 3120599^2 - 396^5 = 7825 , relativ 0.99298 377^5 - 2759646^2 = 341 , relativ 0.046585 76^5 - 50354^2 = 60 , relativ 0.090559 55^5 - 22434^2 = 19 , relativ 0.046581 2^15 - 181^2 = 7 , relativ 0.30938 6^2 - 2^5 = 4 = 2^2 relativ = Differenz / Subtrahend^(3/10) < 1 Weitere gefundene interessante Nicht-Minima: 1213762203^5 - 51325598603407610139995^2 = 80278581891218 204409070340424677780^2 - 635331^7 = 8714876949189 62689516^5 - 31116252864876115997^2 = 599737104567 643411967038243088^2 - 13286043^5 = 108962337301 643407608557741837^2 - 13286007^5 = 108961687762 10741787^5 - 378173716095817028^2 = 67944824923 71706268810825380^2 - 5523608^5 = 12253583632 , relativ 0.94391 14836306266232763^2 - 2941239^5 = 8827443970 14835953172171512^2 - 2941211^5 = 8827259093 224315531580580^2 - 549976^5 = 657099024 95373535273438^2 - 390635^5 = 305192969 95361328242187^2 - 390615^5 = 305158594 52744869326263^2 - 308228^5 = 294638801 21146208937291^2 - 213842^5 = 169503449 10805^5 - 12135618855^2 = 2242100 7756938^2 - 93^7 = 75087 311270^2 - 7^13 = 2493 90298^2 - 96^5 = 1828 45531^2 - 73^5 = 368 , relativ 0.59002 11364^2 - 3^17 = 333 3788^2 - 3^15 = 37 , relativ 0.26373 6^5 - 88^2 = 32 = 2^5 2^17 - 362^2 = 28 , relativ 0.81646 2537^2 - 23^5 = 26 23^2 - 2^9 = 17 56^2 - 5^5 = 11 , relativ 0.98387 ln2093555387 / ln5350 = 2.49999999999998963... ln211053546 / ln239 = 3.4999999999994712... Das Resultat von 2^152 (5.71E+45) nach unten mit den Potenzen 5 und höher lautet: 24961448^6 - 752876480^5 = 3.4183835561389674423145201664E+28 19974835^6 - 576208739^5 = 2.9745226296692065118903757926E+28 16189522^6 - 447796641^5 = 2.4893256747116819803740444703E+28 14172240^6 - 381703549^5 = 2.4617875323378838491648507251E+28 1184258^7 - 318291366^5 = 7.952153752105196681674604576E+27 310776290^5 - 11940978^6 = 3.028171358335183853879792096E+27 243185287^5 - 9733770^6 = 3.021424816157525699120095207E+27 189265890^5 - 7898785^6 = 2.925316285354356854591009375E+27 184682347^5 - 7739053^6 = 2.561201008579323785286453378E+27 159415545^5 - 6846084^6 = 1.80557782471341485772210009E+26 5120001^6 - 112492626^5 = 9.707876906867025549350625E+24 , relativ 0.31038 32234577^5 - 230721^7 = 5.222192146552608813675216E+24 1621316^6 - 28303569^5 = 5.34295321313303949341167E+23 15751891^5 - 994895^6 = 4.0634628597320024729826E+22 , relativ 0.65666 8342917^5 - 585821^6 = 2.9978535081443134913436E+22 8192516^5 - 577007^6 = 1.7451524241682398496927E+22 390526^6 - 5128377^5 = 1.2439402249475551598119E+22 5064449^5 - 386465^6 = 1.0857751392384775906624E+22 262981^6 - 3190871^5 = 8.68934647406744520530E+20 2092811^5 - 185044^6 = 8.37724872178449031195E+20 1691467^5 - 154960^6 = 2.96019439152559222107E+20 1295038^5 - 124042^6 = 2.93212158614129195424E+20 110779^6 - 1130704^5 = 2.47590554277572124297E+20 105400^6 - 1065145^5 = 9.9237893860074534375E+19 100001^6 - 1000012^5 = 6.0002720046320351169E+19 99999^6 - 999988^5 = 5.9997280046319648833E+19 864505^5 - 88574^6 = 3.7746110461900231449E+19 621975^5 - 67320^6 = 1.0156809081609984375E+19 550842^5 - 60840^6 = 1.263374490368675232E+18 , relativ 0.83486 343348^5 - 41031^6 = 2.93720480906018287E+17 , relativ 0.86718 160529^5 - 5227^7 = 2.08268910338980846E+17 15910^6 - 110155^5 = 1.42039636231153125E+17 101580^5 - 14871^6 = 1.7781303476547279E+16 74613^5 - 3024^7 = 1.7635409373856869E+16 8827^6 - 54322^5 = 3.827309694452457E+15 6613^6 - 38413^5 = 944835378146316 4749^6 - 25818^5 = 928733946065433 4649^6 - 25167^5 = 732695093448994 20666^5 - 3945^6 = 694307780099951 3520^6 - 18024^5 = 382327636197376 3127^6 - 15637^5 = 229546622538732 3126^6 - 15631^5 = 57303512042225 3124^6 - 15619^5 = 57137496395277 2332^6 - 10997^5 = 56012416048667 1658^6 - 7303^5 = 31286158808601 6910^5 - 251^8 = 16868630847999 450^7 - 5182^5 = 4759575313568 423^7 - 4752^5 = 2297427414615 4226^5 - 389^7 = 789245253747 2294^5 - 126^8 = 395960010848 588^6 - 2105^5 = 328852525159 1871^5 - 533^6 = 300044361382 1298^5 - 393^6 = 154062723119 26^11 - 1297^5 = 58712761519 1222^5 - 85^8 = 29011499007 78^8 - 1065^5 = 27707267511 920^5 - 295^6 = 10685059375 758^5 - 133^7 = 6953764064 731^5 - 39^9 = 2605693892 93^7 - 570^5 = 881360757 238^5 - 5^17 = 693718043 28^8 - 85^6 = 652482711 198^5 - 82^6 = 310144544 2^38 - 194^5 = 83018720 74^6 - 175^5 = 75630801 164^5 - 17^9 = 48873327 (6^14 - 23^8 = 53178815) 112^5 - 51^6 = 27129031 102^5 - 18^8 = 20847456 2^33 - 97^5 = 2594335 3^19 - 65^5 = 1970842 23^6 - 43^5 = 1027446 18^6 - 2^25 = 457792 30^5 - 17^6 = 162431 6^9 - 10^7 = 77696 13^6 - 3^14 = 43840 14^5 - 3^12 = 6383 (3^12 - 2^19 = 7153) (2^16 - 3^10 = 6487) 3^9 - 7^5 = 2876 7^5 - 2^14 = 423 , relativ 0.90617 2^13 - 6^5 = 416 (kürzbar) 3^7 - 2^11 = 139 2^8 - 3^5 = 13 , relativ 0.40092 relativ = Differenz / Subtrahend^(19/30) < 1 Nach meinen theoretischen Überlegungen, gibt es sehr wahrscheinlich keine Differenzen kleiner als 10^6 bei Potenzen ab 2 oberhalb von 5.71E+45. Die Minima dürften etwa parallel zur 6. Wurzel der Zwischenergebnisse zunehmen. Bei Potenzen ab 3 ist es die 2.4te Wurzel und ab Potenz 5 die (30/19)te Wurzel. Die Gleichung p^m - q^n = 1 gehört zur Catalanschen Vermutung. Catalan hat vermutet, dass es nur eine Lösung gibt für p > 1 und q > 1, nämlich 3^2 - 2^3 = 1 Diese Vermutung gilt seit 2002 vom rumänischen Mathematiker Preda Mihailescu als bewiesen. Siehe dazu unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Catalansche_Vermutung Mit dem Beweis der der Calalanschen Vermutung, auf die ich kürzlich gestossen bin, stellen sich mir weitere Fragen zu möglichen mathematischen Beweismöglichkeiten der Potenzen-Differenzen. Bei den Gleichungen p^m - q^n = d, wobei m, n, p, q alle ganzzahlig und grösser als 1 sind, lassen sich daher vielleicht auch folgende Vermutungen beweisen: - Nur eine Lösung für die Differenz d = 2 = 3^3 - 5^2 - Nur je eine Lösung für d = 3 = 2^7 - 5^3 ; 10 = 13^3 - 3^7 ; 21 = 11^2 - 10^2 ; 29 = 15^2 - 14^2 ; 30 = 83^2 - 19^3 ; 33 = 17^2 - 16^2 ; 38 = 37^2 - 11^3 ; 43 = 22^2 - 21^2 ; 46 = 17^2 - 3^5 - Jeweils keine Lösung für d = 6, 14, 34, 42, 50, 58, 62, 66, usw. Zum Beispiel lässt sich leicht beweisen, dass 2^m - 3^n = 3 bzw. 3^m - 2^n = 3 keine Lösungen haben: Man faktorisiere: 3^n + 3 und 3^m - 3 Hier ist immer der Faktor 3 vorhanden, also kann nie als Faktorisierung 2^m oder 2^n entstehen. Komplizierter wird es bei 2^m - 3^n = 5 bzw. 3^m - 2^n = 5 3^2 + 5 = 2*7 3^3 + 5 = 2^5 (Lösung) 3^4 + 5 = 2*43 3^5 + 5 = 2^3*31 3^6 + 5 = 2*367 3^7 + 5 = 2^4*137 3^8 + 5 = 2*3283 3^9 + 5 = 2^3*2461 3^10 + 5 = 2*29527 3^11 + 5 = 2^10*173 ... 3^19 + 5 = 2^5*36320671 ... 3^27 + 5 = 2^6*119149960703 ... 3^43 + 5 = 2^7*... ... 3^267 + 5 = 2^12*... ... Wie man sieht, wechseln sich die Faktoren 2 mit 2^k alternierend ab. Hier ist ein möglicher Beweis kompliziert, dass ab der Lösung immer ein Zusatzfaktor vorhanden ist und damit in 2^m kein zweites ganzzahliges m mehr entstehen kann. 3^2 - 5 = 2^2 (Lösung) 3^3 - 5 = 2*11 3^4 - 5 = 2^2*19 3^5 - 5 = 2*119 3^6 - 5 = 2^2*181 3^7 - 5 = 2*1091 3^8 - 5 = 2^2*1639 3^9 - 5 = 2*9839 3^10 - 5 = 2^2*14761 ... Wie man sieht, wechseln sich die Faktoren 2^2 mit 2 alternierend ab. Somit muss ab 3^3 - 5 immer ein Zusatzfaktor vorhanden sein, daher kann in 2^n kein zweites ganzzahliges n mehr entstehen. 11.06.2021 (13.09.2007) Richard Fischer